第5讲《长方形数表》
0. 证据与边界
- Paper ID：
8f241b639a7c41388d3efb8cc37c2aa2 - 一等来源：教研云 JSON
elementData - 源稿 JSON：
/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/task_7990ec2a66ae4fa79536b6f59c8e7280_jiaoyanyun_get_paper_8f241b639a7c41388d3efb8cc37c2aa2.json - elementData 抽取：
/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/lesson5_elementData_full_with_children.md - 归档竞赛库：
/root/server-projects-inventory/archives/jiaoyan-decommission-20260617_114721/math-competition.db - element 数量：
67 - need_svg：已拉取
need_svg=1 - JSON 文件大小：
2996661 bytes - 图源统计：
<svg1578 处，<img48 处，image_urls0 处 - 是否已写回教研云：未写回教研云；本文件为本地完整文字稿。
结构说明
本讲按 统一标准 六段结构重新归一化，重点补齐旧 的“真题检索方向”缺口，并保留已完成的教学结构建议。
0. 证据与边界：补齐 Paper ID、JSON、elementData、need_svg、图源统计、写回状态。1. E1-E8真题替换总判断：E1-E8 每位都有检索方向、候选或无完整候选、采用判断、替换结论。2. 课上稿件：按课前测、Module、Warm Up、E位、Showtime、Extension 展开，并保留教师指导。3. 课后15题：固定 Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3。4. 教师更新说明卡片：写清老师动作、互动问题、耗时、跳过风险。5. 本讲结论：明确已完成、不能写回、LOOKUP/PARKED、下一步。
图源、真题与 LOOKUP/PARKED 边界
- 本讲主题是“长方形数表”：日历/框数中心数、周期定位、特殊平方边界、拐弯数表和高阶综合。
- 归档竞赛库检索关键词包括：
数表、日历、方框、框出、拐角、拐弯、第几行、第几列、自然数按、排列。 - 外部候选多为题干关键数字、图形、方向或公式被清洗成
[图]；这类只标LOOKUP/PARKED，不伪造成完整题。 - 源稿图题若被保留，正式排版前必须回源配图；没有图不得独立发布学生版。
- 源稿有 Showtime 段；本讲按规则处理：Showtime 不纳入 E1-E8，前两个 Module 各保留 1 个，难度≤对应例题，不进入课后15题。
- 课前测平均数/加权平均数与本讲错配，本稿移出正课。
1. E链真题替换总判断
E1｜日历/规则数表中的中心数模型
- 真题检索方向：
日历、方框、框出、中心数、长方形数表。 - 对应源题：Warm Up
eleId=24b5ee7bce4b4d2d9fda769cd280a6e3；ExplorationeleId=8c5b95d605cc4d6bb9d06fc84c318655、6803f00e7b4d48febcc03b41fe8e1026 - 原功能：横向差 1、纵向差 7；奇数个相邻数总和 = 个数 × 中心数；再判断十字架/3×3 方框能否框出给定总和。
- 真题候选：归档库“日历/方框/框出”命中题大多关键日期或图形为
[图]，不能复原。 - 替换结论：不替换。
- 落稿动作：保留中心数模型，但把“总和能整除”之后的第二步明确写出：中心数位置是否合法。
- 图形状态：
LOOKUP。源题含[图]，排版需回源配原数表/日历。
E2｜复杂框数：无中心数、图形可旋转
- 真题检索方向：
L形框数、图形旋转、框数、方向分类。 - 对应源题：
eleId=77f96eb3cd924e79ba57813f21498f67 - 原功能：L 形三格可旋转，不能直接套中心数，要按方向分类，并设最大数为
x。 - 真题候选：归档库中“自然数按图排列/三角形纸片覆盖/拐角”有近似题，但关键图、数字多为
[图]。 - 替换结论：不替换。
- 落稿动作：后置到 E1 后，并强调“没有中心数时，设最大数或关键角上的数”。
- 图形状态：
LOOKUP。四种 L 形方向图在抽取层为[图]，不能重画猜图。
E3｜3×3 方框总和可行性判断（随堂检测位）
- 真题检索方向：
3×3方框、九数和、日历方框、位置合法性。 - 对应源题：Showtime
eleId=17e9708f0d7f49e784a43737d402ce3e - 原功能：给出九数和选项，先除以 9 得中心数，再判断中心数所在列是否允许放下 3×3 方框。
- 真题候选：无完整同型真题可用。
- 替换结论：不替换；移动位置。
- 落稿动作：从 Showtime 前移到 Exploration2 后，作为 E1/E2 后的小测，而不是单独堆题。
- 图形状态：
LOOKUP。需要回源确认每行列数与框形。
E4｜等差数列型数表：自然数列，一列一周期
- 真题检索方向：
自然数按规律排列、第几行第几列、数表周期。 - 对应源题：
eleId=33ae9b152c4447d2b614ee681fd8f8f4 - 原功能：从 5 开始的连续自然数按列排布；用
(目标数-起点修正) ÷ 周期判断列号和组内位置；用等差数列求指定行列的数。 - 真题候选：归档库有“从1开始连续自然数按规律填入数表，第45行第5列的数是313”（数据库 id 3628），但题面含图，且未确认是否与源图同周期。
- 替换结论：不替换；候选 PARKED。
- 落稿动作：保留源题，讲清“先确定它是第几个数，再按周期定位”。
- 图形状态：
LOOKUP。
E5｜等差数列型数表：非自然序列/两行一周期
- 真题检索方向：
非自然序列数表、两行一周期、指定行列。 - 对应源题：
eleId=d059174db9304a14b90ed4045d400eec、2386d5fceefe4842948ca82d403b4f60 - 原功能：两行为一个完整周期；每周期含固定个数；目标数先换成“第几个对象”，再定位周期、行、列。
- 真题候选：归档库“第几行第几列”题多有完整图缺失，不落稿。
- 替换结论：不替换。
- 落稿动作：两题可择一主讲一题练习；若课时紧，
2386...作为练习或课后，不抢主线。 - 图形状态：
LOOKUP。
E6｜特殊位置型：平方边界直接定位
- 真题检索方向：
平方边界、对角线数表、特殊位置数表。 - 对应源题：
eleId=2c2d6957dfed46fabde0b7dde574a71e、b552b5afee9e46e7878a41c62e2fc895 - 原功能：观察对角线/某行首数与平方数关系，如第
n行第 1 个数是n²，再由平方边界定位 2017。 - 真题候选：归档库类似“从连续自然数按规律排列，给出两点求目标位置”题有图缺失。
- 替换结论：不替换。
- 落稿动作：保留一题主讲，一题作为同型巩固；教师必须先让学生找
2²、3²、4²...在图中的位置。 - 图形状态：
LOOKUP。
E7｜特殊位置型：拐弯数表
- 真题检索方向：
拐弯数表、螺旋排列、拐角数、平方数规律。 - 对应源题：
eleId=d65d4e0bebde4a4faa1f24861ac846e2 - 原功能：观察拐弯数分别落在
n²+1、n(n+1)+1两列规律，处理第 45 次拐弯和区间内拐弯数。 - 真题候选：数据库 id 3935（2024 希望杯 IHC 培训题四年级）为“三角形边螺旋排列，第十个拐弯处的数”，但关键数和图为
[图]。 - 替换结论：不替换；候选 PARKED/LOOKUP。
- 落稿动作：保留源题，作为“平方边界”后的自然升级。
- 图形状态：
LOOKUP。
E8｜其他数表 / 高阶综合
- 真题检索方向：
多位数占格、大字型覆盖、分块求和、高阶数表综合。 - 对应源题：
eleId=fb43b9d3c7304c079557050e6c9c8870、f9a66a3dbf5b41f59ae67e4d00e14982、0ddc6311ad654c57a8b7e62821a268fb、63833bdda23f4383843c765a3a95685c - 原功能：多位数占格、6 数框、大字型覆盖、8×8 分块求和等综合应用。
- 真题候选：无文本完整、功能更优的可替题。
- 替换结论：不进主课堂核心；选讲或后置课后 Extension。
- 落稿动作：课堂只保留低负荷综合；
fb43...多位数占格建议移 Challenge 或删除，因与“长方形数表中心数/周期定位”主链偏离较大。 - 图形状态：
LOOKUP。
2. 课上稿件
课上 Extension 解读
- 位置：源稿课上链以长方形数表、框数、周期位置和平方边界推进，没有独立课上 Extension 段。
- 功能边界：Extension 应理解为“数表结构迁移”的作业层，不是课堂新增主模型。
- 处理：课堂时间充足时，可在 E7/E8 后补一个口头 Extension 问法：“框改变形状后，哪些量仍可由中心数控制？” 时间紧则不加题，只保留框数判断法。
课前测｜平均数错配处理
源稿课前测包含：
eleId=0f5fd7489aa64bcfbb4dd8762fb3d2ef：24 点练习平均每分钟做题数。eleId=ea3d4188ab534c07804f31e49adbaa7c：投飞镖平均成绩变化。eleId=18d79e23e9c844b7bf9027a67b76bd70：考试平均分提升。eleId=97414677dc4d4a11bb3269723857673e：两班平均分与人数差。
动作：删除或移出本讲。
理由：这些题属于平均数/加权平均数，不服务“长方形数表”入口。若必须保留，最多作为课前口算，不进入正课讲解。
Module 1｜框数问题
Warm Up｜日历中的相邻数规律
- eleId：
24b5ee7bce4b4d2d9fda769cd280a6e3 - 题干观察某月日历，横行相邻日期差、竖列相邻日期差、相邻奇数个日期平均数、框出
n个连续数之和与中心数关系。[图] - 答案：横向差
1；横向奇数个平均数为中间数；竖向差7；竖向奇数个平均数为中间数；和为n×中心数。 - 动作：保留。
- 标签：
日历 / 中心数 / 横差1 / 竖差7 - 真题策略：不替换；外部日历题缺图 PARKED。
- 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 插入位置：Module 1 开头。
- 老师动作：先不讲公式，只让学生横看、竖看，找相邻数差。
- 互动问题：
为什么横着三个数的平均数就是中间那个？竖着三个数也一样吗？ - 耗时：4分钟。
- 跳过风险：学生只会“总和÷个数”，不会用中心数快速判断。
E1｜十字架框五数：中心数 + 位置合法性
- eleId：
8c5b95d605cc4d6bb9d06fc84c318655 - eleIndex：
6 - 题干从 1 开始的连续自然数按图示规则排列，用十字架框出五个数，五个数的和可能是多少。[图]
- 答案：
D，即475。 - 解析要点：设中心数为
a，五数和为5a；候选和先看能否被 5 整除，再检查中心数在表中的列位置是否能形成十字架。 - 动作：保留。
- 标签：
十字架 / 中心数 / 可行性判断 - 真题策略：不替换。
- 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：把判断拆成两步：第一步“总和是否是 5 的倍数”，第二步“中心数位置能不能伸出上下左右”。
- 互动问题：
除出中心数以后，是不是一定能框？为什么还要看列的位置？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生只做整除判断，忽略边界/位置合法性。
E2｜3×3 方框九数：中心数模型升级
- eleId：
6803f00e7b4d48febcc03b41fe8e1026 - eleIndex：
7 - 题干从 1 开始的自然数按图示规则排列，用正方形框出九个数，判断能否使九数和为
2007、2008、2016；若能，写最大数和最小数。[图] - 答案：
（1）232、214；（2）不能；（3）不能。 - 解析要点：九数和为中心数的 9 倍；
2008不是 9 的倍数；2007÷9=223且中心位置合法；2016÷9=224但中心在边界列，不成立。 - 动作：保留。
- 标签：
3×3 方框 / 中心数 / 边界判断 - 真题策略：不替换。
- 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：先让学生解释“为什么中心数是九个数平均数”，再做位置合法性判断。
- 互动问题：
中心数在最左边或最右边时，3×3 方框还放得下吗？ - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：能除尽就误判为能框。
Showtime 1｜移入 Module 1 后的小测
- eleId：
17e9708f0d7f49e784a43737d402ce3e - eleIndex：
9 - 题干用长方形框出九个数，判断九数和可能是哪一个。[图]
- 答案：
C。 - 动作：从 Showtime 前移到 E2 后，作为随堂检测。
- 标签：
九数和 / 中心数 / 位置合法性 - 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：让学生独立完成“除以 9 → 看中心数 → 看列位置”。
- 互动问题：
哪个选项是因为不能整除淘汰？哪个选项是因为位置不合法淘汰？ - 耗时：3分钟。
E3｜L 形框三数：无中心数时按方向分类
- eleId：
77f96eb3cd924e79ba57813f21498f67 - eleIndex：
8 - 题干从 1 开始的正整数按图示排列，用 3 个正方形构成的 L 形图案（可旋转）框住三个数，若三数和为
2015，求相关方向与最大数。[图] - 答案：L 形有
4种；其中一种方程为x-8+x-7+x=2015；可框住的最大数为676。 - 动作：保留但后置到中心数模型之后。
- 标签：
L形 / 无中心数 / 方向分类 / 设最大数 - 真题策略：不替换。
- 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：明确告诉学生：这题不能直接“总和÷3=中心数”，因为 L 形没有对称中心。
- 互动问题：
如果设最大数为 x，另外两个数分别比 x 小多少？不同朝向会不会不同？ - 耗时：7分钟。
- 跳过风险：学生误套中心数，方向漏分。
Module 2｜周期定位与指定行列
E4｜从 5 开始的连续自然数：一列一周期
- eleId：
33ae9b152c4447d2b614ee681fd8f8f4 - eleIndex：
11 - 题干从 5 开始的连续自然数按规律填入数阵：
213应排在第几列；第 3 行第 100 列是多少。[图] - 答案：
第53列；403。 - 解析要点：
(213-4)÷4=52...1，所以第 53 列第 1 个数；第 3 行首项为 7，公差 4，第 100 个为7+(100-1)×4=403。 - 动作：保留。
- 标签：
周期定位 / 列号 / 等差数列 - 真题策略：不替换；外部同型题缺图 PARKED。
- 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：板书“三步”：确定第几个数 → 确定周期 → 商余定位。
- 互动问题：
余数为 1 表示新一列的第几个？如果余数为 0 又落在哪里？ - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：学生把“第几个数”和“第几列”混在一起。
E5｜两行为一周期的自然数表
- eleId：
d059174db9304a14b90ed4045d400eec - eleIndex：
12 - 题干从 1 开始的自然数有规律填入方格表，问
200在第几行第几列；第100行第2列是多少。[图] - 答案：
D；C。解析给出：200÷9=22...2，所以在第45行第2列；第 100 行第 2 列为448。 - 动作：保留。
- 标签：
两行一周期 / 周期9 / 余数定位 - 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：先框出一个完整周期，写明“两行共 9 个数”。
- 互动问题：
22 个完整周期一共占几行？余 2 是下一周期的第几个位置？ - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：只会除以每行个数，忽略“两行一组”。
E6｜奇数数表：先转化为第几个奇数
- eleId：
2386d5fceefe4842948ca82d403b4f60 - eleIndex：
13 - 题干观察奇数数表，求
2017是第几个奇数、周期信息、所在行列。[图] - 答案：
（1）1009；（2）2行一周期，每周期8个数，127周期第1个数；（3）第253行第1列。 - 动作：保留为 Module 2 后段题；若课时紧可作练习不详讲。
- 标签：
奇数序号 / 两行周期 / 行列定位 - 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：先把
2017转成“第 1009 个奇数”，再进入周期定位。 - 互动问题：
为什么不能直接用 2017 去除以周期？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生忘记先换序号，周期计算整体偏移。
Showtime 2｜基础行列定位检测
- eleId：
bfbe286497b54f139c3b0ce50d5af36a - eleIndex：
14 - 题干从 1 开始连续自然数按规律填入数表，第 4 行第 48 列的数是多少。[图]
- 答案：
239。 - 动作：保留为 Module 2 Showtime。
- 标签：
指定行列 / 等差数列 - 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：引导学生用“第 5 行第 48 列是 240，所以第 4 行第 48 列是 239”或等差式
4+(48-1)×5。 - 互动问题：
这一列上下相邻两个数差多少？这一行向右每次加多少？ - 耗时：3分钟。
Module 3｜特殊位置型
E7｜平方边界：第 n 行第 n 列
- eleId：
2c2d6957dfed46fabde0b7dde574a71e - eleIndex：
16 - 题干自然数按表排列，观察第 2 行第 2 列、第 3 行第 3 列、第 4 行第 4 列；求第 80 行第 80 列。[图]
- 答案：
3=2²-1；7=3²-2；13=4²-3；第 80 行第 80 列为6321。 - 动作：保留。
- 标签：
特殊位置 / 平方数边界 / 对角线规律 - 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：让学生把
2²、3²、4²和目标格位置联系起来，不直接报公式。 - 互动问题：
第 n 行第 n 列为什么是 n²-(n-1)？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：特殊位置变成背答案，无法迁移。
E8｜平方边界定位 2017 与正下方的数
- eleId：
b552b5afee9e46e7878a41c62e2fc895 - eleIndex：
17 - 题干自然数按某种方式排列，第 n 行第 1 个数、2017 所在行列、2017 正下方的数。[图]
- 答案：
n²；第45行第9列；2108。 - 动作：保留。
- 标签：
行首平方数 / 平方边界 / 同列差 - 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：先找
44²=1936<2017<2025=45²，再定位列数；最后用相邻行平方差求正下方。 - 互动问题：
2017 离 45² 差多少？这说明它在第45行第几列？ - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：学生只会算行列，不知道如何求“正下方”。
选讲｜拐弯数表
- eleId：
d65d4e0bebde4a4faa1f24861ac846e2 - eleIndex：
18 - 题干自然数按箭头方向排列，依次在
2,3,5,7,10,...处拐弯；求第 45 次拐弯处的数、1978 到 2015 间的拐弯数。[图] - 答案：
530；1981。 - 动作：强班保留，普通班可移 Challenge。
- 标签：
拐弯数 / 奇偶项规律 / 平方边界 - 图形状态：
LOOKUP。
教师指导：
- 老师动作：把拐弯数分为奇数次与偶数次两列：奇数次
n²+1，偶数次n(n+1)+1。 - 互动问题：
第45次是第几个奇数次拐弯？ - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：后段规律孤立，学生看不到与平方边界的关系。
选讲/PARKED｜多位数占格
- eleId：
fb43b9d3c7304c079557050e6c9c8870 - eleIndex：
19 - 题干数表中的数按规律排列，第 50 行最右边的数、前 50 行的和。[图]
- 答案：
7；1496。 - 动作：移 Challenge 或删除，不进入基础课堂主链。
- 原因：它是“数字占格/数位和”综合题，和本讲中心数、周期定位、平方边界主线相关性弱。
- 图形状态：
LOOKUP。
3. 课后15题 Practice9 / Challenge3 / Extension3
课后 Extension 训练判断
- 训练判断需要训练，但应作为数表结构迁移，不应提前讲成课堂主模型。
- 原因框数、周期、平方边界在课上已经建立，课后 Extension 用来检验框形变化、位置变化后学生是否仍能找控制量。
- 处理保留 2-3 题分层；课堂只提示中心数/边界点，不讲完整解法。
课后结构固定为：Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3。题源全部来自本讲 elementData；不新增伪真题。所有 [图] 题均标 LOOKUP，排版前必须回源配图。
Practice 1｜日历 3×3 方框
- eleId：
67088ed9dc004c64886fcf4a00e9dde7 - eleIndex：
25 - 题干2025 年一月份日历中用
3×3方框圈出任意 9 个数；从左上到右下的三个数之和为45，求这 9 个数的和。 - 答案：
135。 - 对应E位：E1/E2。
- 动作：保留。
- 图形状态：文本已列出日历，可独立使用。
Practice 2｜同列四数、十字架、王字框
- eleId：
7cd7b7110ece45baa01dbdb37dc74577 - eleIndex：
26 - 题干在数表中判断同一列四数和、十字架九数和、王字十一数和。[图]
- 答案：第 5 列，
50,59,68,77；能，最大数129；不能。 - 对应E位：E1/E2。
- 动作：保留。
- 图形状态：
LOOKUP。
Practice 3｜X 形五数和
- eleId：
560c66f3295f4e01bb4a92d19e3681b9 - eleIndex：
27 - 题干用 X 形划掉五个数，使五数和为
240，判断能否做到；若能，求最大数。[图] - 答案：能，
58。 - 对应E位：E1/E2。
- 动作：保留。
- 图形状态：
LOOKUP。
Practice 4｜从 7 开始的连续自然数表（修文案）
- eleId：
504d4bdbb11a49278f4ad503e1863835 - eleIndex：
28 - 题干从 7 开始的连续自然数按规律填入数表；求第 5 行第 256 列的数、369 所在列。
- 答案：
1286；73。 - 对应E位：E4。
- 动作：保留但必须修解析文案。
- 必修订：解析中“第 56 个数”应改为“第 256 列/第 256 个该行数”：
11+(256-1)×5=1286。 - 图形状态：文本表格已列出，可独立使用。
Practice 5｜从 8 开始的分行数表
- eleId：
c642ff83052b4b7db3db959ac1b941b8 - eleIndex：
29 - 题干从 8 开始的自然数按规律排列，求
200所在行列、第 2 行第 30 列的数。 - 答案：
第1行第65列；95。 - 对应E位：E5/E6。
- 动作：保留。
- 图形状态：文本表格已列出，可独立使用。
Practice 6｜偶数数表定位
- eleId：
75bb2826ce234f75bdca1b6adb800614 - eleIndex：
30 - 题干从左往右看作五列的偶数数表，求第 99 行右边第一个数；
2012所在行列。[图] - 答案：
690；第288行第2列。 - 对应E位：E5/E6。
- 动作：保留。
- 图形状态：
LOOKUP。
Practice 7｜平方边界基础题
- eleId：
c77f22838c02490c89c29c0e3149033f - eleIndex：
32 - 题干自然数按某种方式排列，求
102所在行列、第 9 行第 7 列的数。[图] - 答案：第
2行第11列；75。 - 对应E位：E7/E8。
- 动作：保留。
- 图形状态：
LOOKUP。
Practice 8｜自然数表 87 与指定行列
- eleId：
4225f15149614c2b9b589b6d3eb21cc4 - eleIndex：
23 - 题干自然数按照表中规律排列，求
87在第几行第几列；第 10 行第 7 个数是多少。[图] - 答案：第 6 行第 10 列；
94。 - 对应E位：E7/E8。
- 动作：由课中 Extension 下沉为基础巩固。
- 图形状态：
LOOKUP。
Practice 9｜0 到 2024 的平方边界数表
- eleId：
031ae83ce58d4253b3b4e4e140ce35cf - eleIndex：
36 - 题干自然数
0,1,2,...,2024排成数表，求2005位于第几行第几列。[图] - 答案：第
20行第45列。 - 对应E位：E7/E8。
- 动作：由 Extension 下沉补足 Practice 第 9 题。
- 图形状态：
LOOKUP。
Challenge 1｜20×20 方格表综合
- eleId：
38ab61e5b3c24fce9a04025548ea0d3d - eleIndex：
34 - 题干将 1 至 400 顺次填入
20×20方格表，求246的行列、第 14 行第 13 列的数、阴影方格中数的总和。[图] - 答案：第
13行第6列；273；8020。 - 对应E位：E4/E5/综合。
- 动作：保留为 Challenge。
- 图形状态：
LOOKUP，阴影格必须回源。
Challenge 2｜T 字形日历框
- eleId：
9a633c6916bc4ebb8a495dd86222c227 - eleIndex：
35 - 题干T 字形框可旋转，在 2010 年 8 月日历中框出 5 个数；若和为
101，求五数中最大数与最小数。[图] - 答案：最大数
30，最小数15。 - 对应E位：E2/综合框数。
- 动作：保留为 Challenge。
- 图形状态：
LOOKUP，四种 T 字形方向图必须回源。
Challenge 3｜偶数 S 形五列数表
- eleId：
29b55ae690cf43caafafc1711ad35a2f - eleIndex：
33 - 题干偶数
2,4,6,8,...排成 5 列，求100的行列、第 20 行第 2 列的数。[图] - 答案：第
15行第2列；138。 - 对应E位：E5/E6。
- 动作：保留为 Challenge；比 Practice 6 略高。
- 图形状态：
LOOKUP。
Extension 1｜相邻两行 6 数框
- eleId：
f9a66a3dbf5b41f59ae67e4d00e14982 - eleIndex：
20 - 题干1 至 100 自然数表中，在相邻两行各取连续 3 个数，若 6 数和为
399，求框里最大数。[图] - 答案：
71。 - 对应E位：E1/E2 综合。
- 动作：保留为 Extension。
- 图形状态：
LOOKUP。
Extension 2｜大字型覆盖 7 数
- eleId：
0ddc6311ad654c57a8b7e62821a268fb - eleIndex：
21 - 题干自然数每 9 个一行，用“大”字型覆盖 7 个数，和为
246，求最大数。[图] - 答案：
49。 - 对应E位：E2 综合。
- 动作：保留为 Extension。
- 图形状态：
LOOKUP。
Extension 3｜8×8 数表四部分求和
- eleId：
63833bdda23f4383843c765a3a95685c - eleIndex：
22 - 题干8 行 8 列数表中，A 到 O 表示从小到大的 15 个连续自然数；分成四个 4×4 数表，已知第四部分所有数和为
576，求整个 8×8 数表中所有数的和。[图][图] - 答案：
2048。 - 对应E位：综合提升。
- 动作：保留为 Extension 3。
- 图形状态：
LOOKUP，两张图必须回源。
课后剔除/PARKED 项
eleId=1566c25fa1d84a399c2442106fa8d2b8：题干为“如图，从 开始的连续自然数……在第 行，第 列……第 行第 列的数是”，关键数字和解析均为空，虽答案层有76、1、66，但题面不可答。动作：PARKED / 不进入课后15题。eleId=fb43b9d3c7304c079557050e6c9c8870：多位数占格题完整度依赖图，且主线偏离；动作：备选 Challenge / 当前不进正式15题。- 外部竞赛库候选：全部因关键图/数字/公式缺失，动作：PARKED/LOOKUP，不落稿。
4. 教师更新说明卡片
卡片1｜课前测平均数题移出
- 位置：课前测
eleIndex=1-4。 - 更新前：平均数、加权平均数题作为本讲入口。
- 更新后：删除或移出；本讲入口改为日历/数表相邻差观察。
- 原因：平均数应用题会把课堂带向上一专题，和长方形数表主线错配。
- 老师动作：开场直接问“横着相邻差多少？竖着相邻差多少？”
- 互动问题：
这张表每行、每列的相邻数有什么固定差？ - 耗时：0-1分钟。
- 跳过风险：学生误以为本讲继续讲平均数应用。
- 优先级：P0
卡片2｜中心数模型必须加“位置合法性”
- 位置：E1/E2/Showtime 1。
- 更新前：容易只做“总和÷个数”。
- 更新后：固定为两步：先求中心数，再判断中心数所在位置能否放下图形。
- 原因：十字架、3×3 方框在边界列/边界行可能无法成立。
- 老师动作：每题除出中心数后，追问“能不能真的框出来”。
- 互动问题：
中心数在第1列时，左右还能伸出去吗？ - 耗时：每题多 1 分钟。
- 跳过风险：学生能整除就误判成立。
- 优先级：P0
卡片3｜L 形题后置，并按方向分类
- 位置：
eleId=77f96eb3cd924e79ba57813f21498f67。 - 更新前：可能紧接中心数题出现，学生误套中心数。
- 更新后：放在中心数模型之后，明确“无中心数，设最大数，按方向列式”。
- 原因：L 形可旋转且不对称，是从“有中心数”到“无中心数”的方法切换。
- 老师动作：先画/展示 4 个方向，再分别写另外两个数与最大数的差。
- 互动问题：
这个 L 形有没有一个数正好是三个数的平均数？ - 耗时：7分钟。
- 跳过风险：方向漏解，或把
2015÷3当中心数。 - 优先级：P0
卡片4｜周期定位统一三步
- 位置：Module 2 所有行列定位题。
- 更新前：题题单讲，方法不统一。
- 更新后：统一板书“三步”：确定序号 → 确定周期 → 商余定位。
- 原因：一列一周期、两行一周期、奇数序号表本质相同。
- 老师动作：要求学生每题先写“这是第几个对象”。
- 互动问题：
余数为0时，是本组最后一个，还是下一组第0个？ - 耗时：贯穿模块。
- 跳过风险：行列偏移、余数 0 处理错误。
- 优先级：P0
卡片5｜Practice 4 解析硬修
- 位置：课后 Practice 4
eleId=504d4bdbb11a49278f4ad503e1863835。 - 更新前：题干问“第5行第256列”，解析写“第56个数”。
- 更新后：修为“第5行首项为 11，公差为 5，所以第256列为
11+(256-1)×5=1286”。 - 原因：这是文字硬伤，会造成学生质疑答案。
- 老师动作：布置前核对题面与解析数字一致。
- 互动问题：无。
- 耗时：0分钟。
- 跳过风险：解析数字错误直接进入教材。
- 优先级：P0
卡片6｜Practice 残缺题剔除
- 位置：
eleId=1566c25fa1d84a399c2442106fa8d2b8。 - 更新前：题干大量空白但答案层存在数字。
- 更新后：正式课后 15 题不使用，标
PARKED。 - 原因：学生无法从题面作答，不能用答案反推题干。
- 老师动作：若回源找不到完整图和数字，直接删除。
- 互动问题：无。
- 耗时：0分钟。
- 跳过风险：残缺题落入学生作业。
- 优先级：P0
卡片7｜所有 [图] 题排版前 LOOKUP
- 位置：本讲大多数框数/数表题。
- 更新前：抽取稿只显示
[图]。 - 更新后：题目保留时必须回源图；不能由编辑猜测图形。
- 原因：本讲方法高度依赖每行个数、列位置、框形方向、阴影位置。
- 老师动作：使用前核对图与解析中的差值、周期一致。
- 互动问题：
图中的一行到底有几个数？上下相邻差多少？ - 耗时：排版前处理。
- 跳过风险：图错则全题方法/答案错。
- 优先级：P0
5. 本讲结论
- 第5讲主线可收口为：日历/框数中心数 → 无中心数方向分类 → 周期定位 → 平方边界/拐弯数表。
- 本轮未采用外部真题替换；归档竞赛库候选多缺图、缺关键数字或缺公式，均标
PARKED/LOOKUP，不伪造题面。 - 源稿课前测平均数题与本讲错配，建议删除或移出。
eleId=17e9708f0d7f49e784a43737d402ce3e建议从 Showtime 移到 E2 后，作为中心数 + 位置合法性的随堂检测。eleId=77f96eb3cd924e79ba57813f21498f67L 形题保留但后置，必须按 4 个方向分类，不套中心数。- 课后 15 题已定为 Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3，均来自源 elementData。
- 必修硬伤：
eleId=504d4bdbb11a49278f4ad503e1863835解析“第56个数”改为“第256列/第256个该行数”。 - 必剔除残缺题：
eleId=1566c25fa1d84a399c2442106fa8d2b8，题干与解析关键空白，标PARKED。 - 本讲未写回教研云；所有含
[图]的题排版前必须回源配图并核对周期/方向/边界条件。