第2讲《格点与割补》
0. 证据与边界
- Paper ID：
f6103164196b4df3add8bdc21c3e5684 - 一等来源：教研云 JSON
elementData - 源稿 JSON：
/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/task_8130c098bd4d48c3a6c00cd0f21289ba_jiaoyanyun_get_paper_f6103164196b4df3add8bdc21c3e5684.json - elementData 抽取：
/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/lesson2_elementData_full_with_children.md - element 数量：
90 - need_svg：已拉取
need_svg=1 - JSON 文件大小：
1757363 bytes - 图源统计：
<svg679 处，<img121 处，image_urls0 处 - 是否已写回教研云：未写回；本文件为本地完整文字稿。
结构说明
本讲不是简单沿用旧稿；已按 统一标准 的六段结构重新归一化：
0. 证据与边界：补齐 Paper ID、JSON、elementData、need_svg、图源边界和写回状态。1. E链真题替换总判断：E1-E8 每位都有检索方向、候选、采用判断、替换结论。2. 课上稿件：按课前测、Module、Warm Up、E位、Showtime、Extension 展开；E位补齐教学结构建议。3. 课后15题：固定 Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3，逐题写题干、动作、对应E位和审校意见。4. 教师更新说明卡片：逐卡片写老师动作、互动问题、耗时、跳过风险。5. 本讲结论：明确已完成、不能写回项、LOOKUP/PARKED 和下一步。
图源与真题边界
- 教研云源稿图题可作为本讲一等源；本稿只给文字层面完整文字稿，不替代排版核图。
- 外部竞赛库候选（如数据库ID
8950、574、217、2654、9522）在归档库中普遍image_urls=[]，题干仍含[图]或关键量缺失。 - 因此：缺图/缺公式/缺选项的外部真题只标
LOOKUP/PARKED，不伪造成完整题。 - Showtime 规则按已确认口径执行：不纳入 E1-E8；前两个 Module 各保留 1 题；难度≤对应例题；不进入课后15题。
1. E链真题替换总判断
E1｜正方形格点基础面积
- 原题 eleId：
842e33d590b44c4fa84a1de48bb8a3f4 - 原题题干：图中相邻两个格点的距离都是 1，则图中格点多边形的面积为 ____。[图]
- 原教学功能：正方形格点面积起点；建立“数格 / 割补 / 整体减空白”的基础方法。
- 真题检索方向：
格点 面积、方格 面积、网格 面积、阴影 面积 小方格、毕克。
真题候选：
候选 1｜数据库ID 2654
- que_id：
d7b1726cd3e346f4b43988e6cbe536b3::16::bc8453818118451bbf4e796b010be9ec - 题干如图所示，相邻两格点间的距离均为 [图] 厘米，那么阴影的面积是平方厘米。
- 答案：D
- 判断：
LOOKUP/PARKED - 原因：功能贴合“正方形格点面积”，但题干关键长度和图均被清成
[图]，不能直接替换主例题。
候选 2｜数据库ID 9522
- que_id：
76ad50b6d7f64bfcb539395b4d8f379a::3::dbf4d3f3169b4379bea556105b55453e - 题干As shown in the figure, the area of the smallest square with lattice points is [图]. What is the area of the shaded region in the shape of a "[图]"? 如图，最小的格点正方形的面积为 [图]，则图中“[图]”型阴影区域的面积为 ___。
- 答案：C
- 判断：
LOOKUP/PARKED - 原因：可能适合作随堂真题，但图和关键数值缺失；不直接写入。
替换结论：不直接替换 E1，保留原题。
原因：E1是首次建模，源稿图题结构更可控；外部真题全部图依赖且信息缺失。真题只记录为候选，待回源图完整后可作为 Showtime/Practice 补强。
E2｜正方形格点整体减空白 / 割补
- 原题 eleId：
506f4c7beb894ad79fea38cde0cab9f1 - 原题题干：图中每个小正方形的边长是 3 厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？[图]
- 原教学功能：从直接数格升级到整体减空白 / 割补，带单位面积换算。
真题候选：
候选｜数据库ID 2102
- que_id：
08b1973271e14d8ab0adb534b235ddd3::59::765b1d3a414549fc8fe0181437c56f15 - 题干如图，在边长为 [图] 厘米的正方形格点图形中，“人”字的面积是 ____ 平方厘米。
- 答案：
[公式/图] - 判断：
LOOKUP/PARKED - 原因：功能贴合“格点图形面积”，但图和边长缺失，答案也不可读。
替换结论：不替换 E2。
原因：外部真题均依赖图，缺失后不可落稿；源稿 E2 已包含“边长3厘米”与阴影面积，教学功能完整。正式稿只需视觉核图。
E3｜毕克/格点面积方法转换
- 原题 eleId：
dfcd728538874bf3be62e04d9ed6d7d6 - 原题题干：图中相邻格点围成的最小正方形的面积均为 1。这两个多边形的面积分别是多少？[图][图]
- 原教学功能：在正方形格点中从割补过渡到内部点/边界点/面积公式的选择。
真题候选：
候选｜数据库ID 8115
- que_id：
7165556eb2cc462cb0edab9f68e72d1a::5::696c0c5d03c5494b92ff887d2823abac - 题干在 [图] 的格点图中（格点间距为 [图]），要在格点中画一个三角形。这个三角形的三个顶点必须是格点，且它的内部（不含边界）恰好只包含 [图] 个格点。满足这个条件的三角形的面积最小值是 ____。
- 答案：B
- 判断：不替换，
PARKED - 原因：虽然命中“毕克定理”，但它是构造/最值题，难度和功能都不适合首次方法转换。
替换结论：不替换 E3。
原因：当前源稿题更适合承接 E1/E2；真题候选偏竞赛构造或图缺失，不能作为主例题。
Module 1 Showtime｜真题保留但不纳入E序列
- 原题 eleId：
e0113e3226d9478eb81beb1b86958bc2 - 原题题干：
(2022 AMC 8 Problem, Question #1)The Math Team designed a logo shaped like a multiplication symbol, shown below on a grid of 1-inch squares. What is the area of the logo in square inches? [图] - 原教学功能：正方形格点面积随堂检测。
- 真题状态：源稿已是真题，保留。
- 处理：作为 Module 1 唯一 Showtime，不纳入 E1-E8，不进课后15题。
教师指导：
- 插入位置：E3 后。
- 老师问：
这题适合直接数格、割补，还是整体减空白？为什么？ - 耗时：3分钟。
- 跳过风险：学生只会跟例题，不会独立选择方法。
E4｜三角形格点基础面积
- 原题 eleId：
1d0f41e19c8f4cb9ac67a6d50333ac08 - 原题题干：图中相邻三点所形成的等边三角形的面积均为 1，请分别计算下列图形的面积。[图]
- 原教学功能：从正方形格点切换到三角形格点，建立“最小等边三角形面积单位”。
真题检索结论：未找到题干完整、无图缺失、难度适合首次三角形格点的真题。库中相关题多为 [图] 缺失或几何计数题，不能直接替换。
替换结论：不替换 E4，保留原题。
必须修改教师说明：不能只说“格点面积”，要明确“现在的单位不是小正方形，而是最小等边三角形”。
E5｜复杂三角形格点图形
- 原题 eleId：
27a05fc1aaff414a959f0bc099f65338 - 原题题干：图中相邻三点所形成的等边三角形的面积均为 2，试求松树的面积。[图]
- 原教学功能：三角形格点复杂图形分割。
真题检索结论：未找到完整同型真题。多数候选涉及图形计数或图缺失，不适合直接换。
替换结论：不替换 E5。
审校意见：E5可以保留，但要控制为三角形格点模型，不要让老师回到正方形格点公式。
Module 2 Showtime｜三角形格点检测题保留
- 原题 eleId：
201fc8723eb8462ca2d5c1e9bcd8c6f3 - 原题题干：求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”是面积为 1 的等边三角形）。[图]
- 处理：作为 Module 2 唯一 Showtime，不纳入 E1-E8，不进课后15题。
- 替换结论：不换真题。它本身刚好承担 E4/E5 后检测功能。
教师指导：
- 插入位置：E5 后。
- 老师问：
这是正方形格点还是三角形格点？最小面积单位是谁？ - 耗时：3分钟。
- 跳过风险：学生套错格点公式。
E6｜等腰直角三角形与正方形分割
- 原题 eleId：
f83161fd1e064932bbecbb2ab31cb49c、00a13d5a1ad34418a3fa472c82aa7a3b - 原题题干1：如图所示，两个小正方形在一个边长为 6 分米的大正方形内部，求两个小正方形的面积之和。[图]
- 原题题干2：两个正方形如下图所示放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为 12 厘米，那么较大正方形的面积是 ____ 平方厘米。[图]
- 原教学功能：从格点面积迁移到图形分割、等腰直角三角形与正方形关系。
真题候选：
候选 1｜数据库ID 8950
- que_id：
09de2b5a9034437f89c3589826e71c4a::21::f058dca16b4f40178d712b351cfdd66c - 来源：Math Kangaroo 2022(China)-Level 5-Question 21
- 题干Two congruent isosceles right-angled triangles each have a square inscribed, as shown in the diagram. The square marked [图] has an area of 45. What is the area of the square marked [图]? 两个全等的等腰直角三角形中各内接一个正方形，如图。标记为 [图] 的正方形面积为45，求另一个正方形面积。
- 答案：B
- 判断：
LOOKUP，不直接替换。 - 原因：与 E6 功能高度贴合，但题干关键图缺失、选项未回源。可作为 E6 真题替换候选，必须回源图后才能落稿。
候选 2｜数据库ID 2660
- que_id：
d7b1726cd3e346f4b43988e6cbe536b3::22::b3244ed1bbd54c4f852239e73893384d - 题干如图所示，正方形 [图] 和等腰直角三角形 [图] 拼接在一起，正方形的边长与等腰直角三角形的直角边长度相等为 [图]，连接点和中点，交于点。则图中阴影四边形的面积为。
- 答案：C
- 判断：
PARKED - 原因：图和关键数值缺失，不能直接使用。
替换结论：E6 暂不替换；记录 Math Kangaroo 题为第一候选，待图回源后可替换或作 Challenge。
当前落稿动作：源稿两题不要都重讲，建议二选一重点讲，另一题下沉或作为选讲。
E7｜正三角形分割
- 原题 eleId：
cf36ef8a74674e25b8e3a28d54413035 - 原题题干：下图中每个小正三角形的面积是 12 平方厘米，那么大正三角形的面积为 ____ 平方厘米。[图]
- 原教学功能：正三角形分割与面积倍数。
真题候选：未找到题干完整、可直接替换的正三角形分割真题；候选多为 [图] 缺失。
替换结论：不替换 E7，保留或作为选讲。
审校意见：若图中小三角形数量关系清晰，则可保留；若图不清，应下沉，不要占主链。
E8｜等边三角形剪切压轴
- 原题 eleId：
d444f46966884a069f12e00ef9eb7198 - 原题题干：如图，沿三条线把一个等边三角形剪成四部分。三条线都是从每条边四等分点，呈 30° 角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边三角形。如果小的等边三角形的面积是 18，那么原来的大三角形面积是多少？[图]
- 原教学功能：分割比例压轴。
真题候选：
候选 1｜数据库ID 574
- que_id：
8b339f81054d40aa9d5cbc50fa5f4d4a::9::87d223b8ff70467fad33ce315029ea42 - 题干如图，正六边形中两个阴影部分面积分别是20和25，那么正六边形的面积是 ____。
- 答案：
78 - 判断：可作为 E8/Extension 六边形收束候选，但需回源图。
- 原因：题干比其他六边形候选更完整，数值和答案可见；但仍缺图，不能直接写入教材。
候选 2｜数据库ID 217
- que_id：
c2ce0988f99547228afe15484fede2a2::7::cc98c73530564f038c249a79c8a2f774 - 题干如图是一个正六边形，点 [图]、[图]、[图]、[图] 分别是这个正六边形边上的中点。若阴影三角形的面积是 [图]，则正六边形的面积为 ____。
- 答案：
[公式/图] - 判断：
PARKED - 原因：关键点名、阴影面积、答案均缺失，不可落稿。
替换结论：E8 暂不直接替换；优先保留源稿 E8，但必须视觉核图。
如果要真题化，优先回源数据库ID 574 的正六边形题；图完整后可替换 E8 或放 Extension 2。
2. 课上稿件
课上 Extension 解读
- 位置：本讲课上主链以正方形格点、三角形格点与割补方法推进，源稿没有可直接独立成段的课上 Extension。
- 功能边界：图形拔高主要已经内嵌在 E 链与 Showtime 中；不能把课后 Extension 反向当作课上 Extension 来讲。
- 处理：若课堂时间充足，把格点割补的变式题作为“方法选择检测”；若时间紧，优先保证 E1-E6 的数格、割补、整体减空白三种方法可迁移。所有外部真题图缺失项继续保持 LOOKUP/PARKED。
课前测｜只作热身，可压缩
顺序 02｜课前测计算
- eleId：
7880117cd2bc4f4bbdbdeaf7c1bc2734 - 题干
0.45 × 2.4 = - 动作：保留/可删减
- 审校意见：它是计算热身，不服务“格点与割补”主线；课时紧可删。
顺序 03｜课前测计算
- eleId：
6064dc11bba94bc79ed07f963156e6f4 - 题干
13.9 × 2.3 = - 动作：保留/可删减
- 审校意见：同上，不能占用正课时间。
顺序 04｜课前测计算
- eleId：
324e5a67288f40a4b5b7bfb960f268e8 - 题干计算题，源稿为子题/图形化公式内容。
- 动作：保留/可删减
- 审校意见：只作热身，不参与本讲编排判断。
Module 1｜正方形格点
Warm Up｜正方形格点面积铺垫
- eleId：
f959ddbfb4324f839941f4a16d1f417e - 题干图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离均为 ____，下列各图形的面积依次为 ____，____，____。[图]
- 动作：保留
- 审校意见：作为数格与面积单位入口，不纳入 E 序列。
- 教师指导：先问“每个小格面积是多少？如果不是完整格怎么办？”耗时2分钟。
E1｜正方形格点基础面积
- eleId：
842e33d590b44c4fa84a1de48bb8a3f4 - 题干图中相邻两个格点的距离都是 1，则图中格点多边形的面积为 ____。[图]
- 动作：保留，不替换真题
- 标签：
正方形格点 / 面积 / 数格与割补 - 审校意见：适合作第一道主例题；外部真题均因缺图不直接替换。
- 真题策略：保留源稿；数据库ID 2654/9522 仅作 LOOKUP/PARKED 候选。
教师指导：
- 插入位置：Module 1 第一道 Exploration。
- 老师动作：先让学生判断直接数格是否方便，再引出割补/整体减空白。
- 互动问题：
直接数完整格够不够？哪些部分可以拼回完整格？ - 耗时：3分钟。
- 跳过风险：学生只会数完整格，不会处理半格和斜边。
E2｜整体减空白 / 割补
- eleId：
506f4c7beb894ad79fea38cde0cab9f1 - 题干图中每个小正方形的边长是 3 厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？[图]
- 动作：保留，不替换真题
- 标签：
正方形格点 / 整体减空白 / 单位面积换算 - 审校意见：承接 E1 成立，注意“边长3厘米”意味着每个小正方形面积是9平方厘米。
- 真题策略：保留源稿；数据库ID 2102 因边长和图缺失，不替换。
教师指导：
- 插入位置：E1 后。
- 老师动作：先确认单位面积，再比较“直接拆”和“整体减空白”。
- 互动问题：
边长是3厘米时，一个小正方形面积是多少？先算外框还是先拆阴影？ - 耗时：4分钟。
- 跳过风险：学生把边长3误当面积3，导致全题错位。
Warm Up｜毕克定理观察
- eleId：
4ea5adbef6df41c6804d3a8a2178c688 - 题干图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离均为 1，按要求填写下表：内部格点数 N、边界格点数 L、图形面积，并总结 S 与 N、L 的关系。[图]
- 动作：保留
- 审校意见：这是 E3 前的公式发现活动，不纳入 E 序列，但必须留时间让学生发现规律。
E3｜两个格点多边形面积
- eleId：
dfcd728538874bf3be62e04d9ed6d7d6 - 题干图中相邻格点围成的最小正方形的面积均为 1。这两个多边形的面积分别是多少？[图][图]
- 动作：保留，不替换真题
- 标签：
正方形格点 / 毕克定理 / 方法选择 - 审校意见：适合作正方形格点模块收束；外部真题偏构造/缺图。
- 真题策略：保留源稿；数据库ID 8115 偏构造最值，不替换。
教师指导：
- 插入位置：毕克 Warm Up 后。
- 老师动作：让学生先数内部点、边界点，再和割补法比较效率。
- 互动问题：
这题用数格快，还是用内部点/边界点快？为什么？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生只背公式，不知道什么时候该用。
Module 1 Showtime｜2022 AMC 8 logo 真题
- eleId：
e0113e3226d9478eb81beb1b86958bc2 - 题干
(2022 AMC 8 Problem, Question #1)The Math Team designed a logo shaped like a multiplication symbol, shown below on a grid of 1-inch squares. What is the area of the logo in square inches? [图] - 动作：保留为 Showtime
- 真题状态：源稿已是真题
- 审校意见：保留它，删除/下沉同一 Showtime 段后两题，避免 Showtime 超量。
- 教师指导：问“这题适合数格、割补，还是整体减空白？”耗时3分钟。
Module 1 Showtime 备用题1｜下沉/删除
- eleId：
eb635a8503174e749513c94671d64746 - 题干图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离均为 1，则该三角形的面积为 ____。[图]
- 动作：下沉/删除
- 审校意见：功能仍是正方形格点检测，但 Showtime 只保留 1 题；可作为 Practice Q9 替换候选，但需确认是否允许从 Showtime 下沉到课后。
Module 1 Showtime 备用题2｜下沉/删除
- eleId：
b1128e6ce5234d17b1a190ba0c69df51 - 题干如图，一个画在网格纸上的不规则图形。设一个小格边长是 2。将它保持形状不变边长扩大 2 倍，画在一张大网格纸上，则所得新图形的面积是 ____。[图]
- 动作：下沉/删除
- 审校意见：涉及放大倍率，偏迁移；不适合 Showtime 的“≤例题难度”规则。
Module 2｜三角形格点
Warm Up｜三角形格点面积单位
- eleId：
0a59c252e69445a4817704d26decb0e4 - 题干计算下面图形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”围成的等边三角形的面积为 1）。[图]
- 动作：保留
- 审校意见：必须明确最小面积单位从“小正方形”换成“小等边三角形”。
Warm Up｜三角形格点继续铺垫
- eleId：
44b7a3e8791e4e6089925c9d9c7b80c0 - 题干计算下面图形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”是面积为 1 的等边三角形）。[图]
- 动作：保留
- 审校意见：如果前一题已充分，可压缩本题，避免 Module 2 前置过长。
E4｜三角形格点基础面积
- eleId：
1d0f41e19c8f4cb9ac67a6d50333ac08 - 题干图中相邻三点所形成的等边三角形的面积均为 1，请分别计算下列图形的面积。[图]
- 动作：保留，不替换真题
- 标签：
三角形格点 / 面积单位转换 / 基础割补 - 审校意见：本题是 Module 2 核心入口，外部真题不如源稿清晰。
- 真题策略：保留源稿；不以外部真题替换首次三角形格点建模。
教师指导：
- 插入位置：Module 2 Warm Up 后。
- 老师动作：先把最小单位从“小正方形”切换成“小等边三角形”。
- 互动问题：
现在最小面积单位是谁？还能按小正方形数吗？ - 耗时：4分钟。
- 跳过风险：学生沿用正方形格点习惯，单位面积判断错。
E5｜三角形格点复杂图形
- eleId：
27a05fc1aaff414a959f0bc099f65338 - 题干图中相邻三点所形成的等边三角形的面积均为 2，试求松树的面积。[图]
- 动作：保留，不替换真题
- 标签：
三角形格点 / 复杂割补 / 面积单位倍数 - 审校意见：可作为 E4 后升级，但必须围绕“等边三角形面积单位 × 个数/割补”。
- 真题策略：保留源稿；外部候选缺图或不贴合三角形格点主线。
教师指导：
- 插入位置：E4 后。
- 老师动作：让学生先圈出可拆的基本三角形/平行四边形，再统一乘面积单位2。
- 互动问题：
这个松树能拆成几个基本三角形或平行四边形？每个基本单位面积是多少？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生只数个数，忘记每个单位面积是2。
Module 2 Showtime｜三角形格点检测
- eleId：
201fc8723eb8462ca2d5c1e9bcd8c6f3 - 题干求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”是面积为 1 的等边三角形）。[图]
- 动作：保留为 Module 2 Showtime
- 审校意见：难度与 E4/E5 相当，可检测方法迁移；不纳入 E 序列，不进课后。
- 教师指导：问“这是正方形格点还是三角形格点？面积单位是谁？”耗时3分钟。
Module 2 Showtime 备用题1｜下沉/删除
- eleId：
c7ab1624660846a0a2e5f14b7d479ba0 - 题干图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为 1，计算图中三角形的面积。[图]
- 动作：下沉/删除
- 审校意见：Showtime 超量；不如保留
201fc...。
Module 2 Showtime 备用题2｜下沉/删除
- eleId：
73cc31c8138b45bebafe26db21e37d9d - 题干如下图，有21个点，每相邻三个点可以构成“∵”或“∴”，所构成的三角形都是面积为1的等边三角形，三角形 ABC 的面积为 ____。[图]
- 动作：删除/下沉
- 审校意见：难度偏高，超过 Showtime “≤例题难度”规则。
Module 3｜图形分割
Warm Up｜等腰直角三角形中的正方形
- eleId：
a3c0cb42ca24410c95a5649507e9d6bf - 题干如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是 36 平方厘米，正方形 B 的面积是。[图]
- 动作：保留
- 审校意见：为 E6 铺垫；也与 Math Kangaroo 真题候选方向一致。
E6a｜两个小正方形面积之和
- eleId：
f83161fd1e064932bbecbb2ab31cb49c - 题干如图所示，两个小正方形在一个边长为 6 分米的大正方形内部，求两个小正方形的面积之和。[图]
- 动作：保留但压缩
- 真题候选：Math Kangaroo 2022 Level 5 Q21，数据库ID 8950，待图回源。
- 标签：
等腰直角三角形 / 正方形分割 / 面积关系 - 审校意见：源稿先保留；若 Math Kangaroo 图回源完整，可替换或作为 Challenge。
- 真题策略：数据库ID 8950 为 Math Kangaroo 候选，但缺图，暂不替换；源稿保留。
教师指导：
- 插入位置：Module 3 Warm Up 后。
- 老师动作：引导学生把两个小正方形面积和转成周围等腰直角三角形/大正方形的面积关系。
- 互动问题：
正方形面积和哪些等腰直角三角形面积有关？能不能用整体面积减掉空白？ - 耗时：4分钟。
- 跳过风险：学生只盯边长，无法建立面积守恒。
E6b｜正方形叠放
- eleId：
00a13d5a1ad34418a3fa472c82aa7a3b - 题干两个正方形如下图所示放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为 12 厘米，那么较大正方形的面积是 ____ 平方厘米。[图]
- 动作：保留但压缩，可下沉
- 标签：
正方形叠放 / 等腰直角三角形 / 面积倍数 - 审校意见：与 E6a 功能相近，正式授课不建议两题都展开。
- 真题策略：不替换；可作为 E6a 后的压缩练习或下沉。
教师指导：
- 插入位置：E6a 后，视时间选讲。
- 老师动作：只问关键等腰直角三角形的边长/面积关系，不展开成第二条主线。
- 互动问题：
小正方形边长12时，周围等腰直角三角形能告诉我们大正方形什么？ - 耗时：3分钟。
- 跳过风险：E6 双题展开会挤压 E7/E8 压轴时间。
E7｜正三角形分割
- eleId：
cf36ef8a74674e25b8e3a28d54413035 - 题干下图中每个小正三角形的面积是 12 平方厘米，那么大正三角形的面积为 ____ 平方厘米。[图]
- 动作：保留或选讲
- 标签：
正三角形分割 / 面积比例 / 图形分层 - 审校意见：若图清晰，可作为正三角形分割入口；若图复杂或时间不足，下沉到 Extension。
- 真题策略：保留源稿；暂无完整高贴合真题可替换。
教师指导：
- 插入位置：E6 后。
- 老师动作：先让学生找“大三角形由多少个等面积小三角形组成”。
- 互动问题：
每个小正三角形面积是12，大三角形一共有几个这样的单位？ - 耗时：4分钟。
- 跳过风险：学生只看边长比例，不会回到面积单位。
E8｜等边三角形剪切压轴
- eleId：
d444f46966884a069f12e00ef9eb7198 - 题干如图，沿三条线把一个等边三角形剪成四部分。三条线都是从每条边四等分点，呈30°角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边三角形。如果小的等边三角形的面积是18，那么原来的大三角形面积是多少？[图]
- 动作：暂保留；视觉核验失败则 PARKED
- 真题候选：数据库ID 574 正六边形阴影面积题，题干数值较完整但仍缺图；暂不替换。
- 标签：
等边三角形剪切 / 边长比例 / 面积比例 / 压轴 - 审校意见：当前 E8 可以做压轴，但必须给教师“边长比例→面积比例”的问题链。
- 真题策略：数据库ID 574/217 作为正六边形/等边三角形候选，但缺图，暂不替换；保留源稿并标视觉核图。
教师指导：
- 插入位置：Module 3 收束压轴。
- 老师动作：先画比例链，不直接让学生猜面积。
- 互动问题：
中间小等边三角形与原三角形的边长比例是多少？面积比是多少？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生只记答案，不会从边长比推出面积比。
3. 课后15题 Practice9 / Challenge3 / Extension3
课后 Extension 训练判断
- 训练判断需要训练，但以方法选择为主，不把课后 Extension 提前讲成新课。
- 原因格点与割补的迁移需要学生独立判断“数格、割补、整体减空白、毕克/边界点”哪一种更稳；这正是课上不宜讲透的检测点。
- 处理课后 Extension 保留作迁移检测；老师批改时看方法选择是否合理，缺图/真题图源项继续 LOOKUP/PARKED。
课后仍按 Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3。Showtime 不进入课后。
Practice 1
- eleId：
22b4be37916245249e431598295a1582 - 题干图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离都是1，图中“8”的面积是____，“0”的面积是____，“9”的面积是____。[图]
- 动作：保留
- 对应：E1
- 审校意见：正方形格点基础巩固。
Practice 2
- eleId：
d31c91b5caf6440e8bc71a9db702e25c - 题干图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离均为1，请你求出喇叭、小猫、小狗的面积。[图]
- 动作：保留
- 对应：E1/E2
- 审校意见：多图形面积，巩固数格与割补。
Practice 3
- eleId：
6f5ca93b75b243c0b6781406a457a9ca - 题干图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离均为1，下面三个图形的总面积等于____。[图]
- 动作：保留
- 对应：E2
Practice 4
- eleId：
7aa0d21a49db48ff99a169c500d6090c - 题干图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，那么下面多边形的面积是____平方厘米。[图]
- 动作：保留
- 对应：E2/E3
Practice 5
- eleId：
f060458d8bbd45cfb2c4de901c3e32cc - 题干图中相邻三点所围成的等边三角形的面积为1，五边形的面积是____。[图]
- 动作：保留
- 对应：E4/E5
Practice 6
- eleId：
f9deb1a74936460185dabc53a2fccd14 - 题干下列格点多边形的面积之和（每相邻三个点“∵”或“∴”是面积为1的等边三角形）是____。[图]
- 动作：保留
- 对应：E4/E5
Practice 7
- eleId：
90e1c04fc4c5444d8e44d4439a70434c - 题干把大正三角形每边六等分，组成如下图所示的三角形网。如果每个小三角形的面积都是1，图中阴影的面积是____。[图]
- 动作：保留
- 对应：E7
Practice 8
- eleId：
0f023afb72c94077a8f73d58892b562c - 题干已知五边形 AEFCB 面积为20，E、F为所在边的中点，正方形 ABCD 的面积为____。[图]
- 动作：保留
- 对应：E6
Practice 9｜删除七巧板，新增内部格点题定稿
- 原 eleId：
8380ba7a910643a1b6ba1c99ee5ba96f - 原题题干：左图是一组总面积为80cm²的七巧板，用它构成右图长方形中的阴影部分。那么这个长方形的面积为____cm²。[图][图]
- 原题动作：删除
- 删除原因：七巧板题偏离“格点与割补”主线，不适合作本讲 Practice 第9题；继续保留会让作业检测从格点面积滑到拼图面积。
新 Practice 9
- 新增ID：
NEW_INTERNAL_L2_PRACTICE_009 - 来源：新增内部题，不使用 Showtime 下沉题，避免违反“Showtime 不进课后15题”规则。
- 对应E位：E2/E3
- 标签：
正方形格点 / 割补 / 整体减空白 / 无图坐标化
题干：
在边长为 1 的方格纸上，有一个格点多边形，按顺时针方向的顶点依次为：
(0,0) → (6,0) → (6,2) → (4,2) → (4,5) → (1,5) → (1,3) → (0,3) → 回到 (0,0)。
这个多边形的面积是多少？
答案：22
解析
方法一：看作外接长方形 6×5=30，减去右上空白长方形 2×3=6，再减去左上空白长方形 1×2=2，得到：
30 - 6 - 2 = 22。
方法二：也可用割补/坐标多边形面积公式核验，结果同为 22。
教师指导：
- 插入位置：课后 Practice 第9题。
- 老师动作：告诉学生“没有图也能在方格纸上按坐标还原图形”。
- 互动问题：
你会先画图、先补成长方形，还是直接拆成几块？ - 耗时：2分钟。
- 跳过风险：学生以为格点题必须依赖图片，不能把割补方法迁移到文字/坐标描述。
Challenge 1
- eleId：
69520920d51b4a43ad504f8f8824034b - 题干如图，每个小方格的面积是1，那么阴影部分的面积是____。[图]
- 动作：保留
- 对应：E2/E3 延伸
Challenge 2
- eleId：
8ad54aeb47e6411ea20135aef8f89aaa - 题干正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 叠放在一起，M、N点为正方形的边的中点。阴影部分面积是14cm²，三角形 BEF 的面积是____cm²。[图]
- 动作：保留
- 对应：E6
Challenge 3
- eleId：
446486d7d0a8491da57647461c3da119 - 题干已知正三角形 ABC 的面积是96，点D、F分别是所在边的中点，点E是所在边的四等分点，求阴影三角形的面积。[图]
- 动作：保留
- 对应：E7/E8
Extension 1
- eleId：
8cd54af585da4f728c79c7332ca47cc1 - 题干下图是用不同颜色的瓷砖拼成的。整个三角形的面积为480，其中 A、B、C 都是边上的四等分点，则中间黑色瓷砖的面积为____。[图]
- 动作：保留，需核图
- 对应：E8
Extension 2
- eleId：
3bce606870bb46cd91216c29ce511c63 - 题干正六边形 ABCDEF 的面积是6平方厘米。M 是 AB 中点，N 是 CD 中点，P 是 EF 中点。问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？[图]
- 动作：保留，需核图
- 对应：E8/六边形收束
Extension 3
- eleId：
b1e2a4c671814debac0aea1764389a80 - 题干等边三角形 ABC 中，AD=DE=BE，AC=6CH，BC=6BF=3CG，三角形 ABC 的面积为36，求阴影部分的面积。[图]
- 动作：保留，需核图
- 对应：高阶分割比例
4. 教师更新说明卡片
卡片1｜Module 1 Showtime 压缩
- 位置：Module 1 Showtime
- 更新前：AMC logo + 三角形面积 + 放大面积三题连续出现。
- 更新后：只保留 AMC logo 真题作为 Showtime。
- 原因：Showtime 规则是“每个 Module 1 个，难度≤例题”，不是拔高题串。
- 老师动作：让学生独立判断数格/割补/整体减空白。
- 互动问题：
这题你会先数完整格，还是先补成大图形？ - 耗时：3分钟。
- 跳过风险：Module 1 后段过长，主线散。
- 优先级：P0
卡片2｜Module 2 三角形格点口径
- 位置：E4/E5 与 Module 2 Showtime
- 更新前：容易继续沿用正方形格点的数格口径。
- 更新后：明确最小单位是等边三角形。
- 老师动作：先让学生指出“一个单位面积”是什么。
- 互动问题：
现在还能按小正方形数吗？为什么？ - 耗时：2分钟。
- 跳过风险：学生公式套错。
- 优先级：P0
卡片3｜E6 真题候选暂不写入
- 位置：E6
- 更新前：源稿两道等腰直角/正方形分割题都可讲。
- 更新后：源稿保留但压缩；Math Kangaroo 真题作为回源候选，不直接写入。
- 原因：候选真题贴合但缺图，不能伪造。
- 老师动作：先讲清正方形面积与等腰直角三角形的对应关系。
- 互动问题：
哪些三角形其实是同一类？面积能不能互相转化？ - 耗时：4分钟。
- 跳过风险：图形关系没建立，后面只会猜。
- 优先级：P1
卡片4｜Practice Q9 删除/替换
- 位置：课后 Practice 第9题
- 更新前：七巧板/长方形面积题。
- 更新后：删除或替换为更贴合格点/割补的题。
- 原因：偏离本讲格点主线。
- 老师动作：暂不布置该题，等替换后再进作业。
- 互动问题：无。
- 耗时：0分钟。
- 跳过风险：学生练到七巧板拼接，无法检测本讲核心。
- 优先级：P0
5. 本讲结论
本讲未写回教研云；以下结论只对应本地 Markdown 完整文字稿。
第2讲按“能换真题就换真题”后的合理改法是：
- E1-E5 不直接替换真题：外部候选大量缺图或功能偏离，源稿题链更稳。
- Module 1 Showtime 保留源稿 AMC 8 真题
e0113e...，这是本讲最适合直接使用的真题。 - E6 有高贴合真题候选 Math Kangaroo 2022 Level 5 Q21（数据库ID 8950），但缺图，暂
LOOKUP，不能写入。 - E8/六边形方向有候选数据库ID 574，题干和答案较完整，但仍缺图，暂不替换。
- Showtime 按新规则压缩为前两个 Module 各1题，且不纳入 E 序列。
- Practice Q9 七巧板题已删除，替换为新增内部格点多边形题
NEW_INTERNAL_L2_PRACTICE_009；课后15题文字层面已定稿。 - 下一步不是再写摘要，而是：用教研云 SVG/PDF 对源稿图题做视觉核验；外部 E6/E8 真题候选因归档库无 image_urls，除非另行回源原竞赛题图，否则不写入教材。