第6讲《最值问题Ⅰ》
0. 证据与边界
- Paper ID：
7cb0a393822a46d483a8d385bb0f6100 - 一等来源：教研云 JSON
elementData - 源稿 JSON：
/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/task_e3fe71fc461a4bb8b446e89f30f68405_jiaoyanyun_get_paper_7cb0a393822a46d483a8d385bb0f6100.json - elementData 抽取：
/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/lesson6_elementData_full_with_children.md - 归档竞赛库：
/root/server-projects-inventory/archives/jiaoyan-decommission-20260617_114721/math-competition.db - element 数量：
65 - need_svg：已拉取
need_svg=1 - JSON 文件大小：
2340112 bytes - 图源统计：
<svg1036 处，<img15 处，image_urls0 处 - 是否已写回教研云：未写回教研云；本文件为本地完整文字稿。
结构说明
本讲按 统一标准 六段结构重新归一化，重点补齐旧 的“真题检索方向”和逐 E 位“替换结论”缺口。
0. 证据与边界：补齐 Paper ID、JSON、elementData、need_svg、图源统计、写回状态。1. E1-E8真题替换总判断：E1-E8 每位都有检索方向、候选或无完整候选、采用判断、替换结论。2. 课上稿件：按课前测、Module、Warm Up、E位、Extension 展开，并保留教师指导。3. 课后15题：固定 Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3。4. 教师更新说明卡片：写清老师动作、互动问题、耗时、跳过风险。5. 本讲结论：明确已完成、不能写回、LOOKUP/PARKED、下一步。
图源、真题与 LOOKUP/PARKED 边界
- 本讲核心是“最值问题Ⅰ”：极端构造、和一定/积一定最值、几何最值、多数拆分、数字谜最值。
- 源稿已有多道真题或真题来源题：2022 Math Kangaroo、2020 AIMO、2017重庆华杯、2008 Math League、Latymey Upper School Sample、2014华杯赛等。原则是：保留可读真题，不为了真题化强行替换主链。
- 归档竞赛库中的最值/靠墙/拆数候选多含
[图]、缺关键数字或功能偏离；这类只标LOOKUP/PARKED，不伪造成完整题。 - 源稿无独立 Showtime 段；本讲明确：源稿无 Showtime 段，不强行新增 Showtime；已有真题检测只作为课中检测，不进入课后15题。
- 残缺题
17a5...、7000...、641d...、0a9...等不裸进教材。
1. E链真题替换总判断
E1｜组数问题：数字和固定时，最小/最大多位数
- 真题检索方向：
数字和固定、最小多位数、最大多位数、数字谜最值。 - 原题 eleId：
f7ae3a92fa02494187c48ee9f354bdd1 - 原题题干：各位数字互不相同且数字和为
23，求满足条件的最小多位数与最大多位数。 - 原教学功能：先判断“位数多/少”，再安排高位与其余位，建立数字构造中的极端思想。
- 真题策略：不替换。
判断：源题文本完整，能直接承担 E1 的“极端构造”开场。归档库中“数字谜最值”题大量含 [图]，例如“将若干数字填入算式求最大/最小”“火柴棒最大三位数”等，图形或算式缺失，不适合作为第一例题。
处理：保留源题；教师讲解时必须先问“要最小，先少位数还是先小首位？”避免学生直接排列数字。
替换结论：保留源稿，不替换；外部数字谜最值候选因图/算式缺失 PARKED。
E2｜真题保留：数字卡片排列成最小数
- 真题检索方向：
Math Kangaroo、数字卡片、拼接最小数、排列最值。 - 原题 eleId：
e027a344e231442fb56a62c21a4d2854 - 来源：
2022 Math Kangaroo, Level C, Question #9 - 原题题干：Bodil rearranges the 7 pieces shown to get the smallest possible 12 digit number. What are the last 3 digits of this number? 小博将图示7张数字卡片重新排列后，得到尽可能小的12位数，问最后3位数字。[图]
- 答案：
A，解析得最后三位为699。 - 原教学功能：在“位数固定”时比较拼接顺序，高位优先。
- 真题策略：保留现有真题，不另替。
判断：这是本讲最适合的 E1/E2 衔接真题；题目来源明确，图为原题必要信息，源 JSON 有图片资源。不得把卡片内容自行补写成“无图题”；排版时必须回源图。
处理：保留为 E2；标注“排版回源图”。
替换结论：保留源稿已有 Math Kangaroo 真题；不另替。
E3｜最最问题：分配中的最大/最小
- 真题检索方向：
苹果分配、最大最小、最多者最少、最少者最多。 - 原题 eleId：
f162b7133c0a46efb4fa85b82af67b8a - 原题题干：50个苹果分给6个小朋友，每人至少1个；分别讨论苹果数可以相同/互不相同时，最多者最多/最少、最少者最少/最多。
- 原教学功能：建立“最大的最大、最大的最小、最小的最小、最小的最大”四种问法。
- 真题策略：不替换。
判断：源题是结构化训练题，正好承接 E1 的极端构造。外部“分鱼/分巧克力”类真题可作补强，但归档库样例多有 [图] 或只问单一最大值，无法替代这里的四象限训练。
处理：保留；建议板书四问法，不改成选择题。
替换结论：保留源稿四象限训练题，不替换。
E4｜中间最值问题：单调序列中的第四天
- 真题检索方向：
单调序列、第k项最值、互不相同自然数。 - 原题 eleId：
6a4cbf0c2e324bccb02ee559a45ce4ba - 原题题干：鲍勃7天做100道题，第一天至少1道，后面每天不比前一天少，前三天做了30道；求第四天最多/最少；再讨论每天互不相同。
- 答案：
17、10、16、12 - 原教学功能：不是只看最大/最小个体，而是控制“中间位置”的最大/最小。
- 真题策略：不替换。
判断：题面完整，四个答案能覆盖“相同/不同”两种约束。归档库中有“若干互不相同非零自然数，第k个数尽可能大”类候选，但关键数字均被清洗为 [图]，例如数据库 ID 308/338/430 方向题，均不可落稿。
处理：保留；教师需补“中间数最大时，后面尽量贴着它；中间数最小时，前面尽量贴着它”的桥。
替换结论：保留源稿，不替换；外部第k项最值题缺关键数字 PARKED。
E5｜最值原理：和一定/积一定
- 真题检索方向：
和一定积最大、积一定和最小、周长固定面积最大。
本段包含 Warm Up 与 Exploration：
- Warm Up eleId：
14b6ea1e0ce24b9fa4ab38b47b8d0c48 - Exploration eleId：
99a79b5f1fe04cb89723e27da5cb816f - 真题例题 eleId：
be0deb1ce7fa49e3882422c7e9b355fb - 真题/来源题 eleId：
c07cea1a589d45e8aa19f6c77ccf855a
- 两个自然数和为40，乘积最大/最小；长方形周长为60或34时面积最大。
- 两个自然数乘积为90，和最大/最小；面积为60的长方形院子周长最小。
- 来源：2020 Latymey Upper School Sample Papers I Entry #14
- 两个正整数之和为23，乘积最小可能是多少？答案 D，即 22。
- 题干内标：2008 Math League, Grade 6, Question #21
- 周长20的长方形面积最大，答案 B，解析为正方形面积 25。
真题策略：保留已有真题，不用外部题替换 Warm Up/Exploration。
判断：Warm Up/Exploration 是概念板书位，真题适合紧随其后做检测。Math League 题有英文拼写错误 suqare，应修为 square，同时补中文解释“周长固定时，长宽越接近面积越大”。
处理：保留 Warm Up + Exploration + 两道已有真题；修 suqare。
替换结论：保留 Warm Up/Exploration，并保留 Latymey 与 Math League 真题检测。
E6｜几何最值：靠墙围地/围羊圈
- 真题检索方向：
靠墙围地、篱笆面积最大、几何最值。 - 靠墙围长方形 eleId：
91c45bee2c994efca4fa42b6fd33dbc1 - 靠墙围5个羊圈 eleId：
07fa9a3f6b0e4deaacceefe858303dd4
- 题干：用60米篱笆围长方形空地，一边靠墙，面积最大是多少？[图]
- 答案：450
- 题干：用30米篱笆靠墙围成5个面积相等的羊圈，如图，求每个羊圈面积最大。[图]
- 答案：7.5m²
真题策略：不替换，但修教师口径。
归档库候选：
- 数据库 ID
2648：2024希望杯，题干为“用一个长为[图]米的篱笆围成一个靠墙的长方形养鸡场，已知长宽均为整数米，怎样围面积最大？”。 - 判断：
LOOKUP/PARKED。 - 原因：关键篱笆长度与选项均为
[图]，不能伪造真题；只能作为后续回源方向。
处理：课中保留源稿两题。07fa... 的教师说明必须改为：设每个长为 a、宽为 b，总篱笆为 5a+6b=30；面积 ab=(5a·6b)/30，所以要让 5a 与 6b 尽量接近，不可误说 a=b。
替换结论：保留源稿，修正教师口径；外部靠墙养鸡场候选 LOOKUP/PARKED。
E7｜多个数的最值：固定个数与若干个数拆分
- 真题检索方向：
拆数乘积最大、固定个数、若干个数、自然数拆分。 - 固定个数 eleId：
dc2f96054bcf404dae304234ce4e9ded - 若干个数 eleId：
0b3282836aee4d6daacabf3bdbb2c43e
- 3个非零自然数和为17，乘积最大/最小；5个自然数和为42，乘积最大；3个互不相同非零自然数和为17，乘积最大/最小。
- 若干个互不相同自然数之和为16，乘积最大；若干个可以相同自然数之和为16，乘积最大。
真题策略：保留源题，不外替。
判断：这两题构成“固定个数平均分”到“若干个数多拆3少拆2不拆1”的必要台阶。归档库中有2024希望杯“甲乙讨论拆数最值”候选：数据库 ID 2661、3105，但题干核心数字与甲乙所说数值均为 [图]，不可直接落稿。
处理：保留；E7 教师说明应明确“固定个数：越接近越好；若干个数：大于4继续拆，最后多拆3，遇到1改成2+2”。
替换结论：保留源稿，不外替；希望杯拆数候选缺关键数字 PARKED。
E8｜数字谜最值：乘积构造
- 真题检索方向：
数字谜最值、乘积最大、填数构造、数字和约束。 - 原题 eleId：
3c2076893e654531b6532f344d9aea05 - 原题题干：
- 答案：
342002；33210；22412；3185 - 真题策略：保留源题；补迁移桥，不替换。
1. 将 1,2,3,4,5,6 填入两个三位数的乘积中，每个数字用一次，求乘积最大/最小。[图]
2. 将 1,2,3,4,5 填入一个三位数与一个两位数的乘积中，每个数字用一次，求乘积最大/最小。[图]
判断：这题不是单纯数字谜，而是把“和一定差小积大/差大积小”迁移到乘数构造。归档库“数字谜最大/最小”大量缺图，源稿后续 641da215... 也缺关键结构，不能替换。
处理：保留 E8；教师必须先说明“为什么可以让两个乘数的和相对固定/先定高位再调差”，否则学生会误以为纯枚举。
替换结论：保留可读源题/替换残缺项；残缺数字谜 LOOKUP/PARKED。
2. 课上稿件
课上 Extension 解读
- 位置：源稿存在“线性换元最值”选讲与若干残缺 Extension 项，位于基础最值策略之后。
- 功能：课上 Extension 的价值是把“固定量/约束条件/目标量”三件事显性化，帮助学生从枚举过渡到表达式最值。
- 处理：线性换元可作为时间充足版选讲；残缺数字谜/缺图项不进主链。老师先问：“固定的是什么？要最大/最小的是什么？改变一个量会带来什么代价？”
课前测｜压缩为1题口算，其余移出或 PARKED
课前测1
- eleId：
0480000f967a4bbeb0522726b92c20ad - 题干
100²-99²= - 答案：
C，即199 - 动作：保留，限时1分钟。
- 教师说明：只作为平方差口算热身，不展开到本讲主线。
课前测2
- eleId：
17a5d38fcae548e7ad4a74834bf3504b - 来源：
2017年第1届重庆华杯赛竞赛 - 抽取状态：题干文本仅剩
= .，答案C，关键公式在抽取文本层不可读。 - 动作：
LOOKUP/PARKED。 - 原因：不能把缺公式真题裸进教材；若要保留，需回源确认完整题面与选项。
课前测3
- eleId：
b3185bfb5b7e43bbb060f98f285d4cd1 - 来源：
2020年香港亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）四年级复赛第22题6分 - 题干
2020²-2019²+2018²-2017²+...+22²-21²=____ - 答案：
2041000 - 动作：移出正课/可作课前拓展。
- 原因：与本讲“最值问题”主线关系弱，若保留会把开场带回平方差计算。
课前测4
- eleId：
644a1e564b844eb1949e95345ff29985 - 题干
1²+2²+3²+...+30²，题干重复显示一次。 - 动作：移出。
- 原因：平方和公式复习，不服务本讲。
Module 1｜基本最值问题
E1｜数字和固定的最小/最大多位数
- eleId：
f7ae3a92fa02494187c48ee9f354bdd1 - eleIndex：
5 - 题干各位数字互不相同，数字和为
23，求满足条件的最小多位数与最大多位数。 - 答案：最小
689；最大8543210。 - 动作：保留。
- 标签：
组数问题 / 极端构造 / 位数优先 - 真题策略：不替换。
教师指导：
- 插入位置：Module 1 开头。
- 老师动作：先讨论“位数”再讨论“高位”。
- 互动问题：
要让一个数尽可能小，是先让首位小，还是先让位数少？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生只会从小到大试排，忽视位数对大小的决定作用。
E2｜Math Kangaroo 真题：卡片拼成最小12位数
- eleId：
e027a344e231442fb56a62c21a4d2854 - eleIndex：
6 - 来源：
2022 Math Kangaroo, Level C, Question #9 - 题干Bodil rearranges the 7 pieces shown to get the smallest possible 12 digit number. What are the last 3 digits of this number? 小博将图示7张数字卡片重新排列后，得到尽可能小的12位数，问最后3位数字。[图]
- 答案：
A；解析中最后3位为699。 - 动作：保留。
- 标签：
真题 / 拼接排序 / 高位优先 - 图像状态：源 JSON 有图片资源，排版需回源图，不得伪造卡片内容。
教师指导：
- 老师动作：让学生比较“下一张卡片放谁会让当前前缀更小”。
- 互动问题：
如果两张卡片都以5开头，比较谁放前面时，能不能只看第一位？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生误用普通数字大小比较，不会比较拼接结果。
E3｜苹果分配的四种最值问法
- eleId：
f162b7133c0a46efb4fa85b82af67b8a - eleIndex：
7 - 题干50个苹果分给6个小朋友，每人至少1个；分别讨论可以相同/互不相同时，最多者最多/最少、最少者最少/最多。
- 答案：可以相同：最多者最多
45、最少9；最少者最少1、最多8。互不相同：最多者最多35、最少11；最少者最少1、最多5。 - 动作：保留。
- 标签：
最最问题 / 平均分配 / 极端分配
教师指导：
- 老师动作：板书四象限：“最大的最大、最大的最小、最小的最小、最小的最大”。
- 互动问题：
想让最多的人尽量多，其他人该怎样？想让最多的人尽量少，大家该怎样？ - 耗时：7分钟。
- 跳过风险：学生只会一种极端思路，遇到“最大者最少”会反向理解。
E4｜中间最值：单调做题序列
- eleId：
6a4cbf0c2e324bccb02ee559a45ce4ba - eleIndex：
8 - 题干鲍勃7天做100道题，后一天不比前一天少，前三天做了30道，求第四天最多/最少；再讨论每天互不相同。
- 答案：
17、10、16、12 - 动作：保留。
- 标签：
中间最值 / 单调序列 / 相同与互异约束
教师指导：
- 老师动作：把7天分成“前三天已知”和“第4天到第7天”两段。
- 互动问题：
要让第4天最大，后面三天能不能比第4天少？要让第4天最小，前三天该怎样靠近它？ - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：学生平均分剩余70题后忽略单调条件。
Module 2｜最值原理
Warm Up｜先判断固定的是和还是积
- eleId：
14b6ea1e0ce24b9fa4ab38b47b8d0c48 - eleIndex：
9 - 题干两个自然数和为40时乘积最大/最小；长方形周长为60或34时面积最大。
- 答案：
400，0；225，72.25 - 动作：保留。
- 标签：
和一定差小积大 / 几何面积
教师指导：
- 老师动作：每小问先追问“固定量是什么”。
- 互动问题：
周长固定，其实是哪两个量的和固定？ - 耗时：4分钟。
- 跳过风险：学生把“和一定”和“积一定”混用。
E5｜积一定与和一定的双向最值
- eleId：
99a79b5f1fe04cb89723e27da5cb816f - eleIndex：
10 - 题干两个自然数乘积为90时和最大/最小；面积60平方米的长方形院子周长最小。
- 答案：
91，19；32米 - 动作：保留。
- 标签：
积一定差小和小 / 因数配对 / 周长最小
教师指导：
- 老师动作：先列因数对，再比较差。
- 互动问题：
积固定时，两个数越接近，和会怎样？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生直接套“差小积大”，没有意识到本题固定的是积。
真题检测1｜Latymey 正整数和为23的最小乘积
- eleId：
be0deb1ce7fa49e3882422c7e9b355fb - eleIndex：
11 - 来源：
2020 Latymey Upper School Sample Papers I Entry #14 - 题干两个正整数之和为23，乘积最小可能是多少？
- 答案：
D，22 - 动作：保留。
- 标签：
真题 / 和一定差大积小
教师指导：
- 老师动作：强调“正整数”不能用0。
- 互动问题：
如果允许0，最小会是多少？现在为什么不能取0？ - 耗时：2分钟。
真题检测2｜Math League 周长20面积最大
- eleId：
c07cea1a589d45e8aa19f6c77ccf855a - eleIndex：
12 - 题干
(2008 Math League, Grade 6, Question #21) A rectangle with perimeter 20 has an area of at most．一个长方形的周长是20，它的面积最大等于。 - 答案：
B，面积25 - 动作：保留，但修英文解析拼写。
- 必修修订：解析中的
suqare改为square，并补中文：周长20时长宽和为10，长宽越接近面积越大，取5×5=25。 - 标签：
真题 / 周长固定 / 面积最大
教师指导：
- 老师动作：不只说“正方形最大”，要问为什么长宽和固定。
- 互动问题：
周长20时，长+宽是多少？两个数和为10，什么时候乘积最大？ - 耗时：3分钟。
E6｜靠墙围地面积最大
- eleId：
91c45bee2c994efca4fa42b6fd33dbc1 - eleIndex：
13 - 题干用60米长的篱笆围一个长方形空地，其中一边靠墙，不需要篱笆，求面积最大。[图]
- 答案：
450 - 动作：保留。
- 标签：
靠墙围地 / a+2b固定 / 面积最大 - 图像状态：题面含图，排版回源图。
教师指导：
- 老师动作：设与墙平行的边为
a，垂直墙的边为b，先写a+2b=60。 - 互动问题：
面积是ab，但固定的是a+2b，应该让谁和谁接近？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生误认为靠墙时仍是长宽和固定。
E7｜靠墙围5个羊圈
- eleId：
07fa9a3f6b0e4deaacceefe858303dd4 - eleIndex：
14 - 题干用30米长的篱笆靠墙围成5个面积大小相等的羊圈，如图，求每个羊圈面积最大。[图]
- 答案：
7.5m² - 动作：保留，并修教师口径。
- 标签：
靠墙围羊圈 / 线段计数 / 变量换元 - 图像状态：题面含图，排版回源图。
教师指导：
- 老师动作：先数篱笆段，得到
5a+6b=30。 - 互动问题：
要最大化每个羊圈面积ab，为什么不是让a=b，而是让5a和6b接近？ - 标准口径：
5a+6b=30，当5a=6b=15时，5a·6b最大；每个羊圈面积ab=(5a·6b)÷30=225÷30=7.5。 - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：旧解析若口头说“长宽相等”，会导致数学逻辑错误。
Module 3｜多个数的最值与应用
E8a｜固定个数的多个数最值
- eleId：
dc2f96054bcf404dae304234ce4e9ded - eleIndex：
15 - 题干3个非零自然数和为17，乘积最大/最小；5个自然数和为42，乘积最大；3个互不相同非零自然数和为17，乘积最大/最小。
- 答案：
180；15，41472，168；28 - 动作：保留。
- 标签：
固定个数 / 多数平均 / 互异调整
教师指导：
- 老师动作：先平均，再按“是否允许相同”做局部调整。
- 互动问题：
如果三个数必须不同，5、6、6还能不能用？应该怎样微调？ - 耗时：6分钟。
Extension 选讲｜线性换元最值
- eleId：
288522f1ff054cf495f4bd4bfb42dbf3 - eleIndex：
16 - 题干98根小棍围长方形面积最大；已知
3a+2b=84，求ab最大。 - 答案：
600平方厘米；294 - 动作：移为选讲/可下沉课后备用，不进主链刚性时长。
- 原因：第二问与 E6/E7 的换元思想相同，适合补强，但若正课时间紧可删。
E8b｜若干个数的乘积最大
- eleId：
0b3282836aee4d6daacabf3bdbb2c43e - eleIndex：
17 - 题干若干个互不相同的自然数之和是16，乘积最大；若干个可以相同的自然数之和是16，乘积最大。
- 答案：
180；324 - 动作：保留。
- 标签：
若干个数 / 多拆3少拆2不拆1 / 互不相同连续起步
教师指导：
- 老师动作：分两条规则讲：可以相同用“多拆3”；互不相同从
2,3,4,...连续试起并微调。 - 互动问题：
为什么不拆1？为什么4可以看成2+2？ - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：学生把固定个数平均分误套到若干个数拆分。
E8c｜数字谜最值
- eleId：
3c2076893e654531b6532f344d9aea05 - eleIndex：
18 - 题干将
1~6分别填入两个三位数中求乘积最大/最小；将1~5填入一个三位数与一个两位数中求乘积最大/最小。[图] - 答案：
342002；33210；22412；3185 - 动作：保留。
- 标签：
数字谜最值 / 和一定迁移 / 乘数差距 - 图像状态：题面含填空图，排版回源图。
教师指导：
- 老师动作：先定最高位，再用“和一定差小积大/差大积小”解释为什么这样配对。
- 互动问题：
为什么最大乘积时两个三位数要尽量接近，而不是一个尽量大一个尽量小？ - 耗时：7分钟。
- 跳过风险：学生只做无序枚举，无法迁移最值原理。
源稿 Extension 残缺项处理
- eleId：
7000f791ad3e44b1948ec3dec4950468 - 题干状态：国际数学奥林匹克评分题关键数字、评分集合、乘积、人数字段在抽取文本中缺失。
- 动作：
LOOKUP/PARKED，不进课上。
- eleId：
641da215bb914e1486d2c92264d62572 - 题干状态：数字范围、填空图、目标表达式、答案均缺失。
- 动作：
LOOKUP/PARKED，不进课上，不作课后 Extension 3。
3. 课后15题 Practice9 / Challenge3 / Extension3
课后 Extension 训练判断
- 训练判断需要训练，且要区分可讲与只作挑战的题。
- 原因最值/固定量/约束条件类题容易在课上被老师讲成技巧，课后 Extension 应让学生自己完成“固定什么、目标什么、改变代价是什么”的判断。
- 处理线性换元类可作为高阶训练；残缺数字谜/缺图项继续 PARKED，不进入正式训练。
课后结构固定为 Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3。正式15题不使用缺公式、缺关键图的残题；可读的源题优先保留。Showtime 不进入课后。
Practice 1
- eleId：
622937787ca24eaf8c31acabc75f5066 - 题干一个多位数的各个数位上的数字之和为35，且各个数位上的数字互不相同。这个多位数最小是____，最大是____。
- 答案：
56789；98753210 - 对应E位：E1/E2
- 动作：保留。
Practice 2
- eleId：
90dc8f82bd364865a519e38bf70cc82c - 题干环保知识抢答有3分题、5分题、8分题三种，小冬1分钟内得29分，最多答对____道题；最少答对____道题。
- 答案：
9；4 - 对应E位：E3
- 动作：保留。
Practice 3
- eleId：
2fb5a20388ac48b1bcc2a1b9bbdbc16f - 题干22个桃分给4个小朋友，每个人数量各不相同且不能不分，分得最多的小朋友最少____个；分得最少的小朋友最多____个。
- 答案：
7；4 - 对应E位：E3
- 动作：保留。
Practice 4
- eleId：
dceaa8618a9244c0bf19e3fac99c4c32 - 题干王老师把45张积分卡分给7个小朋友，每人至少3张，且张数可以相同也可以不同。分到最多的小朋友最多____张，最少____张。
- 答案：
27；7 - 对应E位：E3
- 动作：保留。
Practice 5
- eleId：
ffe35e811a204781a80369ccb86c5cb2 - 题干一个小公司有7位职工，月平均工资2850元；最高工资是最低工资的1.5倍，最低工资的职工工资最多____元。
- 答案：
2660 - 对应E位：E3/E4
- 动作：保留，但教师端补比例约束说明。
- 审校意见：这题不是普通平均分，需说明“要让最低工资最大，其余6人尽量等于最低工资，最高为1.5倍最低”。
Practice 6
- eleId：
d260d87343e8489092b9ede0010c0ddb - 题干有两个自然数的乘积为48，则它们的和最小为____。
- 答案：
14 - 对应E位：E5
- 动作：保留。
Practice 7
- eleId：
efa01d3c0f7d4dadbc903f63f52482a8 - 来源：
2023年六年级学而思密卷理科第6题；2019年四川成都温江区成都市实验外国语学校小升初第3题3分 - 题干A和B都是整数，且
A×B=36，设A与B和的最大可能值为m，和的最小可能值为n，则m+n=____。 - 答案：
49 - 对应E位：E5
- 动作：保留。
- 审校意见：题干说整数，但解析只按正因数讨论；若允许负整数，和没有对应解析口径。建议教材修为“正整数”或教师注明本题按正整数因数对讨论。
Practice 8
- eleId：
1b579d9f8fc64d71bc2b9ca5d3786eb3 - 题干填空：
- 答案：
650.25；80 - 对应E位：E5/E6
- 动作：保留。
- 审校意见：小数面积数学无错；若年级不接受小数，可将102米改为100米或替换为下题 Extension 备选，但本讲不擅自改数。
1. 102米绳子围成长方形，面积最大____平方米。
2. 面积400平方米的长方形周长最小____米。
Practice 9
- eleId：
06a850459c30424c8e33dc8e64a9859d - 题干
- 答案：
81平方米；162平方米 - 对应E位：E6
- 动作：保留。
- 图像状态：第二小问解析含
[图]，题面文字完整；排版可配源图，不影响作答。
1. 王奶奶用36米篱笆围成长方形菜地，面积最大多少？
2. 若以笔直围墙为一边，仍用36米篱笆围成长方形菜地，面积最大多少？
Challenge 1
- eleId：
3438650358b8446fa5d525de87a15d4c - 题干把22分拆成三个自然数之和，使三个自然数之积最大，这个最大的积是多少？
- 答案：
B，392 - 对应E位：E8a
- 动作：保留。
Challenge 2
- eleId：
f0759729a79f401c88682918dac785a5 - 题干
\overline{ABCD}表示四位数，\overline{EFG}表示三位数，A至G代表1至9里的不同数字。已知\overline{ABCD}+\overline{EFG}=1993，问乘积最大值与最小值差____。 - 答案：
525000 - 对应E位：E8c
- 动作：保留。
- 核验：Python 枚举得最大乘积
1234×759=936606，最小乘积1759×234=411606，差525000。
Challenge 3｜替换源稿残缺 Challenge
- 原 eleId：
0a9c1be3428f450a955772bdc0309420 - 原状态：两个子问题的“和是____”、答案与解析关键数字均缺失。
- 原动作：
LOOKUP/PARKED，不进正式课后。
改后 Challenge 3：
- eleId：
17ddad5415664588a7b43fa09cf2a87d - 来源：
2014年全国华杯赛小学中年级竞赛复赛第6题 - 原位置：源稿 Extension 1
- 题干若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为____。
- 答案：
16 - 对应E位：E5/E8b
- 动作：上移为 Challenge 3。
- 理由：原 Challenge 3 残缺；本题来源明确、题面完整，考查“积一定，拆成尽量接近的小因数时和最小”。
Extension 1
- eleId：
00b1e29fc45a478b866077d06ee33c93 - 题干
- 答案：
1080；78732 - 对应E位：E8a/E8b
- 动作：保留为 Extension 1。
1. 把31拆成三个互不相同的自然数之和，使乘积最大，最大乘积是____。
2. 把31拆成若干个可重复自然数之和，使乘积最大，最大乘积是____。
Extension 2
- eleId：
d1b3af9d873b4bfbacb97f158506da7c - 题干将6、7、8、9、10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，所得和的最小值是____。
- 答案：
312 - 对应E位：E5迁移
- 动作：保留为 Extension 2。
- 图像状态：解析中有
[图]排列示意，但题面文字完整；可回源配图，也可由教师现场画一种最优排列。 - 核验：Python 枚举所有排列，最小和为
312。
Extension 3｜用完整利润最值题替换残缺数字谜题
- 原 eleId：
641da215bb914e1486d2c92264d62572 - 原状态：题干关键数字、填图、答案均缺失。
- 原动作：
LOOKUP/PARKED，不进正式课后。
改后 Extension 3：
- eleId：
82d49350ea354e87a0bfa2de1a5dcb0b - 来源：
2018年陕西西安西咸新区六年级下学期小升初秦汉中学入学真卷（二）第16题8分 - 题干某服装厂生产一种服装，每件成本144元，售价200元。经销商订购120件，并提出：每件售价每降低2元，就多订购6件。按经销商要求，服装厂出售多少件时利润最大，最大利润是多少元？
- 答案：售出
144件时利润最大，最大利润6912元。 - 对应E位：E5/E6迁移
- 动作：保留为 Extension 3。
- 审校意见：源解析有大量空白换行，排版时需清洗为：设降价
2n元，则利润(56-2n)(120+6n)=12(28-n)(20+n)，当28-n=20+n，即n=4时最大；件数120+6×4=144，利润6912。 - 核验：Python 枚举整数
n得最大利润6912，对应n=4、售出144件。
课后未采用但可备选：
- eleId：
cb0bf0a33b3e4bdeb64b2408177d9147：草莓售价利润最大，题面完整，答案250、22500，可作为 Extension 3 备用或教师选讲。 - eleId：
7000f791ad3e44b1948ec3dec4950468：缺关键数字，LOOKUP/PARKED。 - eleId：
0a9c1be3428f450a955772bdc0309420：缺关键数字，LOOKUP/PARKED。 - eleId：
641da215bb914e1486d2c92264d62572：缺关键数字/图，LOOKUP/PARKED。
4. 教师更新说明卡片
卡片1｜课前测压缩
- 位置：课前测。
- 更新前：4题均在课前测，且多为平方差/平方和计算。
- 更新后：只留
0480000...作为1分钟口算；17a5...缺公式 PARKED；b318...、644a...移出或作自选热身。 - 原因：本讲主线是最值问题，不应被平方差/平方和复习带偏。
- 老师动作：只问
100²-99²，快速进入最值主题。 - 互动问题：
这是热身，不展开；今天要研究的是“怎样最大/最小”。 - 耗时：1分钟。
- 跳过风险：开场被公式计算拖走。
- 优先级：P0
卡片2｜Warm Up2 拼写与中文解释
- 位置：
c07cea1a589d45e8aa19f6c77ccf855aMath League 题。 - 更新前：解析写
If the rectangle is a suqare...。 - 更新后：改为
square，并补中文解释“周长固定时，长宽和固定，越接近面积越大”。 - 原因：教师端拼写错误与解释过短，都会影响排版质量。
- 老师动作：先写
长+宽=10，再得到5×5=25。 - 互动问题：
为什么是正方形最大？不是背结论，而是两个数和固定时乘积最大。 - 耗时：2分钟。
- 跳过风险：学生只记结论，不能迁移到非正方形变量。
- 优先级：P0
卡片3｜靠墙围羊圈口径修正
- 位置：
07fa9a3f6b0e4deaacceefe858303dd4。 - 更新前：容易口头误讲为“长宽相等面积最大”。
- 更新后：固定
5a+6b=30，让5a与6b接近，不说a=b。 - 原因：面积是
ab，但固定量不是a+b，而是5a+6b。 - 老师动作：先数5段
a与6段b，再做换元。 - 互动问题：
这题中谁和谁的和是固定的？是a+b，还是5a+6b？ - 耗时：3分钟。
- 跳过风险：解析逻辑错误，学生套错模型。
- 优先级：P0
卡片4｜数字谜最值补迁移桥
- 位置：
3c2076893e654531b6532f344d9aea05。 - 更新前：直接给出最大/最小配法。
- 更新后：先讲“高位决定数量级，再用和一定差小积大/差大积小调乘数差”。
- 原因：否则学生会把 E8 当作枚举题，而不是最值原理迁移。
- 老师动作：先定百位/十位，再比较两个乘数差距。
- 互动问题：
最大乘积时两个乘数要接近还是拉开？最小乘积时呢？ - 耗时：3分钟。
- 跳过风险：主线从最值原理断成数字谜技巧。
- 优先级：P1
卡片5｜残缺题统一 PARKED
- 位置：
17a5...、7000...、0a9c...、641d...。 - 更新前：源稿中有题干公式/关键数字缺失题，部分带真题或竞赛来源。
- 更新后：未回源前一律
LOOKUP/PARKED，不进正式课上或课后15题。 - 原因：不能伪造缺图/缺公式真题，也不能把空题布置给学生。
- 老师动作：排版前核对题面是否有完整数字、图、公式、答案。
- 互动问题：无。
- 耗时：0分钟。
- 跳过风险：学生拿到残题无法作答；真题化质量失真。
- 优先级：P0
卡片6｜课后15题定稿
- 位置：课后练习。
- 更新前：源稿含 Practice、Challenge、Extension 多题，其中 Challenge 3 与部分 Extension 残缺。
- 更新后：定为 Practice 1-9、Challenge 1-3、Extension 1-3；残缺题不进正式15题。
- 原因：课后必须可直接布置，不能“排版时再选”。
- 老师动作：按本稿 15 题布置；若想降低难度，可将 Extension 3 换成草莓利润题
cb0bf...。 - 互动问题：无。
- 耗时：0分钟。
- 跳过风险：课后题数量和难度失控。
- 优先级：P0
5. 本讲结论
- 第6讲主链采用：极端构造 → 和一定/积一定 → 几何最值 → 多数拆分/数字组数迁移。
- 本讲已有可用真题：Math Kangaroo 数字卡片、Latymey 正整数和乘积、Math League 周长面积、AIMO/华杯等来源题。真题化策略是保留现有完整真题，不强行引入缺图外部真题。
- 课前测只保留
0480000...一题；17a5...因公式缺失标LOOKUP/PARKED。 c07cea...必修拼写与中文解释；07fa...必修“5a与6b接近”的教师口径。- 正课不使用
7000f...、641da...等缺关键数字题；课后不使用0a9c...、641da...残缺题。 - 课后15题已定：Practice 9 题、Challenge 3 题、Extension 3 题；其中 Challenge 3 用源稿完整华杯赛题
17dd...上移替换残缺 Challenge，Extension 3 用完整利润最值题82d...替换残缺数字谜题。 - 主要
PARKED项：17a5d38f...（课前测缺公式）、7000f791...（IMO评分题缺关键数字）、0a9c1be...（Challenge缺总和/答案）、641da215...（数字谜缺数字/图/答案）、归档库2648靠墙养鸡场真题（关键长度/选项为[图]）。 - 本讲未写回教研云；输出文件为本讲最终全量文字稿。