第4讲《进位制Ⅰ》

第4讲《进位制Ⅰ》

0. 证据与边界

• Paper ID：8461b6804eb549888a67233d5f17e6cf
• 一等来源：教研云 JSON elementData
• 源稿 JSON：/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/task_704af605e9514746a0c692e95271c328_jiaoyanyun_get_paper_8461b6804eb549888a67233d5f17e6cf.json
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• 参考落稿口径：/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/lessons_2_8_standard_final_landing_plans.md 第4讲段
• element 数量：89
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• 图源统计：<svg 1147 处，<img 21 处，image_urls 0 处
• 是否已写回教研云：未写回教研云；本文件为本地完整文字稿。

结构说明

本讲按 统一标准 六段结构重新归一化，重点补齐旧 的两个缺口：逐 E 位“替换结论”和课上逐 E 位“教师指导”。

1. 0. 证据与边界：补齐 Paper ID、JSON、elementData、need_svg、图源统计、写回状态。
2. 1. E链真题替换总判断：E1-E8 每位都有检索方向、候选、采用判断、替换结论。
3. 2. 课上稿件：按课前入口、E位、进制转化模块、四则模块、反求模块展开；每个 E 位补齐教师指导。
4. 3. 课后15题：固定 Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3。
5. 4. 教师更新说明卡片：每张卡写老师动作、互动问题、耗时、跳过风险。
6. 5. 本讲结论：明确已完成、不能写回项、LOOKUP/PARKED、下一步。

图源、真题与 LOOKUP/PARKED 边界

• 本讲主题是“进位制Ⅰ”：n进制认识、十进制互化、n→m转化、2/4/8分组、进制四则、反求进制、综合应用。
• 归档竞赛库命中的进制真题大量被清洗成 [图] 或答案为 [公式/图]；这类只作为检索证据，标 LOOKUP/PARKED，不伪造成完整题。
• 源稿中课前体育比赛题与进位制错配，删除；残缺计算题 da04...、664f...、3d549... 不进落稿。
• 源稿无独立 Showtime 段；本讲边界明确：源稿无 Showtime 段，因此不强行新增 Showtime；前两模块以短练习承担课堂检测，但不标入课后15题。
• 小数进制 element 8dbce0... 内容完整，但按课程链后移至《进位制Ⅱ》，本讲不进主课后15题。

1. E链真题替换总判断

E1｜n 进制认识与十进制位值复盘

• 真题检索方向：二进制介绍、进制认识、十进制位值。
• 原可用素材：bdf4e73e944c44bf99020271beac2c65 卡牌兑换规则，四进制认识；板书 fc78e3695503485495ab296cd0ae4297。
• 原问题：课前测 8d7e4f60...、b8db7c98...、67fc8193...、994d0d5... 都是比赛场数/循环赛，与进位制无关。
• 真题候选：

- 数据库 ID 7230，2026 希望杯四年级培训题，二进制介绍题；题干中十进制/二进制对照表和目标数全部为 [图]，答案 [公式/图]。
- 数据库 ID 5888，2025 希望国际线上考试，二进制转十进制选择题；关键二进制数为 [图]，答案仅 D。

• 判断：不替换 E1；删除错配 front，保留卡牌兑换作为情境入口，并新增十进制位值公式卡。
• 替换结论：保留源稿卡牌兑换 + 删除错配课前题 + 真题候选 PARKED。
• PARKED：ID 7230、5888 均因缺图/缺数不可落稿。

E2｜十进制转 n 进制

• 真题检索方向：十进制转八进制、十进制转n进制、短除法。
• 原可用素材：2b5ee2cb3d28436595fac78d920bd578，(567)_{10} 转 8、5、2；7588e039a89d4539aa298105de373a6d，(1444)_{10}=(A04)_{12}；bd5088f71c19453b9186ed5423bb8da6，(188)_{10}=(D6)_{14}。
• 真题候选：

- 数据库 ID 3161、3244，2024 希望杯，十进制数用八进制表示；关键十进制数为 [图]，答案 [公式/图]。

• 判断：不替换 E2。 源稿数值完整，可直接训练短除法；真题缺关键数值。
• 替换结论：保留源稿短除法题，不采用外部真题。
• PARKED：ID 3161、3244，等待回源补图/公式。

E3｜n 进制转十进制与 n→m 转化

• 真题检索方向：n进制转十进制、三进制转七进制、进制互化。
• 原可用素材：cfc446efab2e4682bfc5c64fef147bc7、da258020403741b5bc1c78963fe6ff4c、0de55be98f8a41af9c5c99fc09313294、47722225e4164121a1e3a293cfd0854d、52a35c7857074e0bae9518659d08f0ed。
• 必修：(1431)_5 解析修正为 1×5^3+4×5^2+3×5+1=241。
• 真题候选：

- 数据库 ID 6350，2026 希望杯六年级，七进制数转十进制；关键七进制数为 [图]，答案仅 C。
- 数据库 ID 2990，2024 希望杯四年级，三进制转七进制；关键数和选项为 [图]。

• 判断：不替换 E3。 源稿完整且覆盖 n→10→m，真题缺数不可落稿。
• 替换结论：保留源稿，修正 (1431)_5 解析。
• PARKED：ID 6350、2990。

E4｜2、4、8 进制的关联

• 真题检索方向：二进制、八进制、分组转化。
• 原可用素材：1dfd725ec25b4528a10d7e9c2dca97cf，(110101)_2=(311)_4=(65)_8；fa1f366d733f47f287c92a5d8a18b05b，(325)_8=(11010101)_2；90df695778b04e00992afab9d1889aaa，(132321)_4=(3671)_8。
• 真题候选：二进制/八进制相关真题多为缺图或超纲复杂乘法。
• 判断：不替换 E4。 本段需要“按 2 位/3 位分组”的方法教学，源题完整。
• 替换结论：保留源稿分组法，不采用压轴真题。
• PARKED：数据库 ID 2380（八进制乘法数字和）难度偏压轴，且乘数第一项缺图，不进本讲主线。

E5｜进制转化的灵活应用

• 真题检索方向：二进制应用、编码、可用数码排序。
• 原可用素材：3baff184abbd4b23a68541a9c12a7a62 打印机只能打印 0/1，第100个数；1ba5af17397f4c54b831a5190e8eb923 打印机只能打印 0/3/7，第100个数。
• 真题候选：

- 数据库 ID 4874，2025 希望杯三年级培训题，钢琴琴键二进制；题干依赖图片，白键/黑键对应值和琴键图均为 [图]，答案 [公式/图]。

• 判断：不替换 E5；保留源稿打印机模型。 钢琴题可作为图片回源后的 Challenge 候选，但本讲不可落稿。
• 替换结论：保留打印机模型；钢琴二进制真题 LOOKUP/PARKED。
• PARKED/LOOKUP：ID 4874，缺琴键图和关键映射。

E6｜n 进制下加减法计算

• 真题检索方向：进制加法、进制减法、竖式计算。
• 原可用素材：5d08b176de78491da11a8e1a08a542ad 六进制加法三小题；0082b72fdb3149e7951ec851581d6c63 九进制加法；9a5fda3e9835423d9dfeec0496302651 二进制减法；a874598a4892413e928fab4e5b73685a 八进制连减。
• 残缺素材：664f4a44184d419d97ec36cd0704e93a 题干缺失，只剩竖式残片，不进落稿。
• 真题候选：未检出题干完整且适合替代基础加减训练的竞赛真题。
• 判断：不替换 E6；保留完整源题，删除/下架缺题干竖式。
• 替换结论：保留源稿加减法组，残缺竖式 PARKED。
• PARKED/LOOKUP：664f4a44184d419d97ec36cd0704e93a。

• 真题策略：不替换；基础加减需要完整竖式组，残缺竖式 PARKED。

教师指导：

• 插入位置：进制互化后，进入四则模块。
• 老师动作：先讲“满 n 进一，借一当 n”，再做六进制加法和二进制减法。
• 互动问题：六进制里一位最大能写几？从高位借 1 到低位时等于多少？
• 耗时：8分钟。
• 跳过风险：学生用十进制进退位规则硬算。

E7｜n 进制下乘除法计算

• 真题检索方向：进制乘法、进制除法、八进制乘法。
• 原可用素材：feb25d5498924f658126eb5185b1bc34 二进制除法；5f3c7a9fd1314f46a377b40ae15446db 七进制乘法；6527f6c1eb4e4678bbb9e5390a99d413 十六进制 A/B 运算；4bc55da243ea4981af57ffa2f2aaa24c 混合进制运算。
• 残缺素材：da04a1a203924130a62e841926d909e3 题干缺公式，只剩答案 100111111。
• 真题候选：数据库 ID 2380 八进制乘法数字和，偏压轴且首个乘数缺图。
• 判断：不替换 E7；保留完整源题，删残缺题。
• 替换结论：保留源稿乘除法与混合运算，残缺题 PARKED。
• PARKED/LOOKUP：da04a1a203924130a62e841926d909e3、数据库 ID 2380。

E8｜已知算式反求进制与综合应用

• 真题检索方向：反求进制、未知进制算式、进制数字和。
• 原可用素材：5cd545b588134b9d8bdffb4e5e7d7ffc，4×13=100 反求进制；3a6afb28133541ed9a108caedcfcfa0b，七进制与九进制反序；2b2b124ebd3047c683470ae6fc8d42d4，125×125=16324；190df42600084917b953d8b6d07b357c，六进制/九进制反序；fba0b2c1924440af86787ea34db2f0c0，7×11×13×138=157586。
• 真题候选：

- 数据库 ID 1201，2023 希望杯培训题，“算式 [图] 是在 进制下的正确算式”，答案七；算式缺图。
- 数据库 ID 907，2022 希望杯，“自然数周游列国”七/九/八进制，关键表示为 [图]。
- 数据库 ID 1383、1760，九进制/七进制两位数数字和，答案 [公式/图]。

• 判断：不替换 E8；用源稿完整题作主线，真题全部 PARKED。
• 替换结论：保留源稿反求进制题组；外部真题候选全部 LOOKUP/PARKED。
• 必修：反求进制题统一补“合法数码检查”：出现数字 7，则进制必须大于 7；出现 A/B，则先定义 A=10、B=11。

2. 课上稿件

课前入口：删除错配体育比赛题，改为十进制位值复盘

删除不进课堂：

• 8d7e4f60e27f481a99b446a2588f77a4：16 支球队单场淘汰。
• b8db7c98e6244e7e8cb2cda18917d9ad：7 名同学两两乒乓球。
• 67fc8193cd47413da206f5923d6061aa：四队循环赛。
• 994d0d5a007b4dd1a6b4f9514efa28df：五人比赛得分。

改后导入问题：

> 十进制数 321 为什么不是 3+2+1，而是 3×100+2×10+1？
> 若“满四进一”，(321)_4 应该怎样表示它的真实数量？

板书公式卡：

• n 进制：满 n 进一，借一当 n。
• 合法数码：只能使用 0,1,2,...,n-1；出现最大数字 d 时，进制必须 >d。
• 位值公式：(abc)_n=a×n^2+b×n+c。
• 多位数一般式：(a_k...a_1a_0)_n=a_k n^k+...+a_1 n+a_0。

• 真题策略：保留源稿反求进制题组；外部未知进制真题缺公式，全部 LOOKUP/PARKED。

教师指导：

• 插入位置：全讲收束。
• 老师动作：每题先做合法数码检查，再用个位、位值展开或大小范围反推进制。
• 互动问题：题中出现数字 8 时，进制至少要大于几？个位信息能不能先锁定进制的因数？
• 耗时：10分钟。
• 跳过风险：学生直接设方程却忘记进制合法性，得到无效根。

E1｜n 进制认识与十进制互化入口

采用 element：bdf4e73e944c44bf99020271beac2c65

题目情境：卡牌集换规则：4 张 R 换 1 张 SR，4 张 SR 换 1 张 SSR，4 张 SSR 换 1 张彩虹卡。

课堂处理：

1. 问：这套规则是“满几进一”？答：四进制。
2. 问：1 SSR 相当于多少张 R？答：4^2=16。
3. 问：1 彩虹卡 相当于多少张 R？答：4^3=64。
4. 把“1 张 SSR、2 张 SR、1 张 R”写成 (121)_4，转十进制：1×4^2+2×4+1=25。
5. 把“2 张彩虹卡、1 张 SR”写成 (2010)_4，转十进制：2×4^3+1×4=132。
6. 收束练习：(321)_4=3×4^2+2×4+1=57。

教师追问：

> 这里的 321 和十进制的 321 长得一样，值一样吗？为什么？

• 真题策略：不替换；删除错配体育比赛 front，保留卡牌兑换情境。

教师指导：

• 插入位置：课前位值公式卡之后。
• 老师动作：先让学生说出“满四进一”，再把卡牌数量写成四进制位值展开。
• 互动问题：这里的 321 和十进制 321 长得一样，值一样吗？为什么？
• 耗时：6分钟。
• 跳过风险：学生只把进制当记号，不理解位值含义。

E2｜十进制转 n 进制：短除法与倒取余数

采用 element：2b5ee2cb3d28436595fac78d920bd578、7588e039a89d4539aa298105de373a6d

主例 1：

> 计算：(567)_{10}=( )_8=( )_5=( )_2。

答案：

• (567)_{10}=(1067)_8
• (567)_{10}=(4232)_5
• (567)_{10}=(1000110111)_2

讲法：每次除以目标进制，记录余数，直到商为 0；最后倒取余数。

主例 2：

> 计算：(1444)_{10}=( )_{12}。

答案：(A04)_{12}。说明：十二进制中 A=10。

可快练：bd5088f71c19453b9186ed5423bb8da6

> (188)_{10}=(D6)_{14}，其中 D=13。

• 真题策略：不替换；源稿数值完整，外部十进制转八进制真题缺关键数值。

教师指导：

• 插入位置：E1 位值展开后。
• 老师动作：板书短除法流程，强调“记录余数、倒取余数”。
• 互动问题：为什么最后要倒着读余数？商到 0 后最后一个余数代表哪一位？
• 耗时：8分钟。
• 跳过风险：学生会除但顺序读反。

E3｜n 进制转十进制，再转 m 进制

采用 element：cfc446efab2e4682bfc5c64fef147bc7、da258020403741b5bc1c78963fe6ff4c、0de55be98f8a41af9c5c99fc09313294

修正题：

> 计算：(1431)_5=( )_{10}。

改后解析

(1431)_5=1×5^3+4×5^2+3×5+1=125+100+15+1=241。

注意：源稿解析把权重顺序写乱，本讲必须修正。

快练：

• (10111)_3=1×3^4+0×3^3+1×3^2+1×3+1=94。
• 五进制转八进制：先转十进制，再转八进制。

综合例：0de55be98f8a41af9c5c99fc09313294

1. “五星制”中 1 UR=25 SR。
2. 3 UR+2 SSR+4 SR=3×25+2×5+4=89 SR。
3. 按八进制打包：89÷8=11...1，11÷8=1...3，所以为 1 VR, 3 TTR, 1 SR。
4. (423)_5=4×25+2×5+3=113=(161)_8。
5. (1042)_5=1×125+4×5+2=147=(223)_8。

• 真题策略：不替换；保留源稿并修正 (1431)_5 的位值解析。

教师指导：

• 插入位置：十进制转 n 进制之后。
• 老师动作：统一要求先写位值展开，再做 n→10→m。
• 互动问题：(1431)_5 中 4 在哪一位？它应乘 5 的几次方？
• 耗时：8分钟。
• 跳过风险：学生把各位权重顺序写乱，导致互化全错。

E4｜2、4、8 进制的关联：分组法

采用 element：1dfd725ec25b4528a10d7e9c2dca97cf、fa1f366d733f47f287c92a5d8a18b05b、90df695778b04e00992afab9d1889aaa

主例：

> 计算：(110101)_2=( )_4=( )_8。

讲法：

• 二进制转四进制：从右往左每 2 位一组：11 01 01，得到 (311)_4。
• 二进制转八进制：从右往左每 3 位一组：110 101，得到 (65)_8。

答案：(110101)_2=(311)_4=(65)_8。

反向例：

> (325)_8=( )_2。

每一位八进制数转成 3 位二进制：3→011，2→010，5→101，合并后去掉最前多余 0，得 (11010101)_2。

提高例：

> (132321)_4=( )_8。

先把四进制每位化成 2 位二进制：01 11 10 11 10 01，即 (11110111001)_2，再三位分组得 (3671)_8。

• 真题策略：不替换；源稿直接服务二/四/八分组法，外部候选过难或缺图。

教师指导：

• 插入位置：n→10→m 熟练后。
• 老师动作：先说明 4=2²、8=2³，再训练从右往左 2 位/3 位分组。
• 互动问题：为什么二进制转八进制要三位一组？不够三位时补在哪里？
• 耗时：7分钟。
• 跳过风险：学生每题都绕回十进制，失去分组法效率。

E5｜进制转化的灵活应用：可用数码与序号

采用 element：3baff184abbd4b23a68541a9c12a7a62、1ba5af17397f4c54b831a5190e8eb923

主例 1：

> 某打印社的打印机只能打印 0 和 1，所以它打印非零自然数，只能是 1,10,11,100,101,...，那么第 100 个数是？

讲法：这串数的“排序”正好对应二进制正整数。第 100 个数就是十进制 100 的二进制表示。

答案：100=(1100100)_2，所以第 100 个数是 1100100。

主例 2：

> 打印机只能打印 0,3,7，非零自然数依次为 3,7,30,33,37,...，第 100 个数是？

讲法：先把可用非零符号映射为三进制中的 1,2：3↔1，7↔2，0↔0。十进制 100=(10201)_3，再把 1 换成 3，2 换成 7。

答案：30703。

真题补充说明：钢琴琴键二进制真题缺图，不能在本讲替换；若后续回源成功，可作为 Challenge 补充而非主例。

• 真题策略：保留打印机模型；钢琴二进制真题缺图，暂不替换。

教师指导：

• 插入位置：基础互化和分组法之后。
• 老师动作：把可用符号映射为进制数码，先解决“第几个”再换回原符号。
• 互动问题：只能用 0、3、7 时，为什么可以先看成三进制？3 和 7 分别对应哪个数码？
• 耗时：7分钟。
• 跳过风险：学生把符号本身当数值，无法建立编码映射。

E6｜n 进制下加减法

采用 element：5d08b176de78491da11a8e1a08a542ad、0082b72fdb3149e7951ec851581d6c63、9a5fda3e9835423d9dfeec0496302651、a874598a4892413e928fab4e5b73685a

主例：六进制加法

• (232)_6+(313)_6=(545)_6
• (215)_6+(224)_6=(443)_6
• (5555)_6+(1)_6=(10000)_6

教师话术：

> 十进制是满十进一；六进制每一位最大只能到 5，超过 5 就要进位。

进阶练习：

• (178)_9+(8803)_9=(10082)_9
• (101011)_2-(1110)_2=(11101)_2
• (63121)_8-(1247)_8-(26531)_8=(33121)_8

删除/PARKED：664f4a44184d419d97ec36cd0704e93a，题干缺失，不进课堂 Showtime。

E7｜n 进制下乘除法与混合进制计算

采用 element：feb25d5498924f658126eb5185b1bc34、5f3c7a9fd1314f46a377b40ae15446db、6527f6c1eb4e4678bbb9e5390a99d413、4bc55da243ea4981af57ffa2f2aaa24c

主例 1：

> (100001)_2÷(11)_2=( )_2

答案：(1011)_2。

主例 2：

> (314)_7×(233)_7=( )_7

方法：可列七进制竖式，也可先转十进制核验。(314)_7=158，(233)_7=122，158×122=19276=(110125)_7。

答案：(110125)_7。

符号补充例：

> (A)_{16}×(B)_{16}-(68)_{16}=( )_{16}。

讲前必须写：十六进制中 A=10，B=11。
计算：10×11-104=6，所以答案为 (6)_{16}。

混合进制例：

> (343)_5×(22)_3÷(10)_{16}+(51)_{10}=( )_{16}。

统一转十进制：(343)_5=98，(22)_3=8，(10)_{16}=16，所以 98×8÷16+51=100=(64)_{16}。

删除/PARKED：da04a1a203924130a62e841926d909e3，题干缺公式，不进课堂。

• 真题策略：不替换；源稿覆盖除法、乘法、A/B符号和混合进制，外部候选偏压轴或缺图。

教师指导：

• 插入位置：E6 加减法之后。
• 老师动作：先定义扩展数码 A=10、B=11，再决定是列原进制竖式还是转十进制核验。
• 互动问题：这题直接在原进制算更方便，还是先转十进制更稳？为什么？
• 耗时：10分钟。
• 跳过风险：学生未定义 A/B 就直接计算，或混合进制未统一单位。

E8｜已知算式反求进制与综合应用

• 真题检索方向：反求进制、未知进制算式、进制数字和。

采用 element：5cd545b588134b9d8bdffb4e5e7d7ffc、3a6afb28133541ed9a108caedcfcfa0b、2b2b124ebd3047c683470ae6fc8d42d4、190df42600084917b953d8b6d07b357c、fba0b2c1924440af86787ea34db2f0c0

主例 1：

> ( ) 进制下，4×13=100 成立。

讲法：设进制为 n，则 4×(n+3)=n^2，即 n^2-4n-12=0，得 n=6 或 n=-2，进制取正且大于数字 4，所以 n=6。

答案：六进制。

主例 2：

> 一个自然数的七进制表达式是三位数，九进制表达式也是三位数，且两个三位数数字顺序相反，求这个自然数的十进制表示。

保留源稿解法：设七进制为 (abc)_7，九进制为 (cba)_9。展开：49a+7b+c=81c+9b+a，化简 24a=40c+b。结合 a,b,c<7，得 a=5,b=0,c=3，所以数为 (503)_7=248。

主例 3（反求进制乘法）：

> 在几进制中有 125×125=16324？

讲法：出现数字 6，进制必须大于 6；看个位，5×5=25，结果个位为 4，说明 25-4=21 是进制的倍数；大于 6 且为 21 的因数，只能是 7。

答案：七进制。

可选收束：

• 六进制的 \overline{abc} 化为九进制后写成 \overline{cba}，答案 212。
• 7×11×13×138=157586 成立的进制为九进制；需先检查出现数字 8，所以进制大于 8，再用大小关系判断小于 10。

3. 课后15题 Practice9 / Challenge3 / Extension3

本讲课后 15 题固定为 Practice 9 题 + Challenge 3 题 + Extension 3 题。不保留“排版时再选”。题目均来自源 elementData；残缺题不入选。

Practice 1｜规则识别与 n→10

来源：e70d3746718e4441a45c03141178ac10

题目：把下列各数转化为十进制数：

1. (463)_8=( )_{10}
2. (245)_7=( )_{10}

答案：307；131。

Practice 2｜10→n

来源：e815c54f620b4e04aa5fd48d6da5f599

题目：把下列各数转换进制：

1. (107)_{10}=( )_2
2. (69)_{10}=( )_3
3. (2896)_{10}=( )_5

答案：1101011；2120；43041。

Practice 3｜前几个正整数的 n 进制写法

来源：8bde3405c1154bad9469661b045bad72

题目：

1. 用四进制写出前五个正整数。
2. 用五进制写出前五个正整数。

答案：

1. (1)_4,(2)_4,(3)_4,(10)_4,(11)_4
2. (1)_5,(2)_5,(3)_5,(4)_5,(10)_5

Practice 4｜不同进制大小比较

来源：71f41de8e4d347edb91399fa0d999114

题目：比较 (2014)_5 和 (3321)_4。

答案：(2014)_5>(3321)_4。解析(2014)_5=259，(3321)_4=249。

Practice 5｜n→10→m

来源：3d578051cfd84c738bdc90fc327b74e8

题目：九进制的 167 化成八进制是 ( )_8。

答案：216。

Practice 6｜三进制转九进制分组

来源：6f2efa06ad174e7099b45004a4814fa5

题目：将 (120120021021112001)_3 化成九进制。

答案：(516237461)_9。

Practice 7｜四进制转八进制

来源：f50dc147fc5842febf84e9b6e1a9e2d1

题目：计算 (132321)_4=( )_8。

答案：3671。

说明：源题解析含短除图；本讲优先讲分组法，图缺失不影响落稿。

Practice 8｜二进制加减

来源：4d043e096bfd4a5baad2513f89b7da48

题目：

1. (101101)_2+(10111)_2=( )_2
2. (101101)_2-(10111)_2=( )_2

答案：1000100；10110。

Practice 9｜多进制加减综合

来源：dbe529aa770a4b6e820b020ff11506d6

题目：回答下列问题：

1. (12)_7+(65)_7-(23)_7=( )_7
2. (123456)_8+(22)_8+(654322)_8+(56)_8=( )_8
3. (40000)_9-(1111)_9-(2222)_9-(5556)_9=( )_9
4. (3021)_4+(605)_7=( )_{10}

答案：54；1000100；30000；500。

Challenge 1｜二十进制语言题

来源：0981d22a8bfa45508a7c00746c3953e3

题目：在美洲小镇中，对于 200 以下数字采用 20 进制读法。已知十进制 147 的 20 进制读音是 “seyth ha seyth ugens”，十进制 49 的读音是 “naw ha dew ugens”，问读音 “dew ha naw ugens” 指十进制中的数是多少？

答案：182。

教学定位：Challenge 1，考查“符号对应 + 位值”。

Challenge 2｜可用数码排序

来源：14beefa700454b229fceb9cdbb5b32c6

题目：用 0,1,2,3,4,5 这六个数码可以组成许多正整数，从小到大排列为 1,2,3,4,5,10,11,12,13,...，那么 2015 是这列数中的第几个数？

答案：443。

解析把 2015 看作六进制数，(2015)_6=2×6^3+0×6^2+1×6+5=443。

Challenge 3｜进制乘除综合

来源：f0ff22b657c44bd5b0d33e111bbcf3d8

题目：计算。

1. (1234)_9×(18)_9=( )_9
2. (345)_8×(273)_8=( )_8
3. (1210201)_3-(21201)_3÷(11)_3=( )_3

答案：23445；123507；1201210。

Extension 1｜反求进制基础

来源：a39e0ab163c94b83a2c20165b51ee5f2

题目：7×12=106 在几进制下成立？

答案：8。

解析要点：出现数字 7，进制大于 7；个位 7×2=14，结果个位 6，说明 14-6=8 是进制。

Extension 2｜倍数关系反求进制

来源：fb8c04ce93a04b3eba7c319a4e68465e

题目：记号 (25)_k 表示 k 进制的数，如果 (52)_k 是 (25)_k 的 2 倍，那么 (123)_k 在十进制中表示的数是多少？

答案：83。

解析5k+2=2(2k+5)，得 k=8；(123)_8=64+16+3=83。

Extension 3｜进制与年龄综合

来源：34107160ce6945589fbdd4e952b2054a

题目：在宇宙中有一个使用三进制的星球。小招移居后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示。小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个 0，就是三进制下的年龄。那么小招几岁？

答案：21。

解析要点：一位数不合；设年龄为十进制两位数 \overline{ab}，有 10a+b=(ab0)_3=9a+3b，得 a=2b。三进制数字小于 3，所以 a=2,b=1，年龄 21。

不入选但需标记的课后候选

• 3d549c91c15b4d7295450798f71fb6d2：题干关键符号缺失，答案也残缺，PARKED/LOOKUP。
• 8dbce0d87e9245f0b9968aefa590037f：小数进制完整，但移至《进位制Ⅱ》，本讲不入选。
• 664f4a44184d419d97ec36cd0704e93a：题干缺失，仅保留竖式残片，PARKED/LOOKUP。

4. 教师更新说明卡片

卡片 1｜课前入口必须换

• 动作：删除体育比赛/循环赛课前测，改用十进制位值复盘。
• 互动话术：321 为什么等于 3×100+2×10+1？如果换成四进制，权重变成什么？
• 风险：如果保留体育比赛题，学生前 5 分钟会进入组合计数，不进入进位制。

卡片 2｜每题先验“合法数码”

• 动作：板书“合法数码 < 进制”。
• 互动话术：这个数里最大数码是多少？所以进制至少是几？
• 风险：反求进制只解方程，不验合法性，会出现无效进制。

卡片 3｜位值公式必须固定

• 动作：新增公式卡 (abc)_n=a×n^2+b×n+c。
• 互动话术：最左边这一位的权重是 n^2 还是 n^0？
• 风险：源稿 (1431)_5 解析权重错，必须在讲义中修正。

卡片 4｜短除法强调“倒取余数”

• 动作：十进制转 n 进制时每一步写商和余数。
• 互动话术：最后一个余数为什么写在最前面？
• 风险：学生按正序抄余数，结果整体反序。

卡片 5｜2/4/8 分组不要硬转十进制

• 动作：二进制转四进制每 2 位一组；转八进制每 3 位一组。
• 互动话术：为什么 (110101)_2 转八进制可以分成 110 | 101？
• 风险：全部走十进制桥会拖慢，并掩盖特殊进制关联。

卡片 6｜A、B 等扩展数码先定义

• 动作：讲十六进制前写清 A=10,B=11,C=12,...。
• 互动话术：A×B 是字母乘法，还是十六进制里的数字？
• 风险：学生把 A/B 当未知数，题型误判。

卡片 7｜残缺图题不口头补全

• 动作：da04a...、664f...、3d549... 回源前不讲、不排。
• 互动话术：无。
• 风险：教师凭答案反推题干，会制造伪题。

卡片 8｜小数进制后移

• 动作：8dbce0... 小数进制放到《进位制Ⅱ》。
• 互动话术：本讲只处理整数进制；小数位值下一讲再完整处理。
• 风险：本讲过早引入负指数/小数乘基取整，会挤压四则与反求进制。

5. 本讲结论

本讲未写回教研云；以下结论只对应本地 Markdown 完整文字稿。

第4讲本讲可按“高风险硬修后落稿”执行：

1. 真题替换结论：E1-E8 均不采用外部真题直接替换。归档竞赛库命中的进制真题多数缺图/缺公式/答案清洗，全部按 PARKED/LOOKUP 处理；不伪造缺图真题。
2. 课上主线：采用“十进制位值复盘 → 位值公式 → 十进制互化 → n→m → 2/4/8 分组 → 加减 → 乘除 → 反求进制”的 E 链。
3. 必须删除/下架：front 体育比赛题、da04a... 残缺乘除题、664f... 残缺竖式题、3d549... 残缺符号题。
4. 必须修正：(1431)_5 解析权重；所有反求进制题补“合法数码检查”；十六进制题补 A=10,B=11。
5. 课后15题已定：Practice 9、Challenge 3、Extension 3，均来自源 elementData 且题干完整；小数进制题移至《进位制Ⅱ》。
6. 主要 PARKED 项：

- 数据库 ID 7230、5888、3161、3244、6350、2990、4874、2380、1201、907、1383、1760：外部真题缺图/缺公式/缺关键数值，不落稿。
- 源 element da04a1a203924130a62e841926d909e3：题干缺公式。
- 源 element 664f4a44184d419d97ec36cd0704e93a：题干缺失，只剩竖式残片。
- 源 element 3d549c91c15b4d7295450798f71fb6d2：题干与解析关键符号缺失。

本讲输出为最终全量文字稿。