第3讲《数形结合》
Paper ID：fa197e9e3a674665add2d243ed570a14
一等来源：教研云 JSON elementData
抽取文件：/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/lesson3_elementData_full_with_children.md
当前状态：第3讲完整文字稿真实 eleId / 未写回教研云。
0. 证据与边界
- Paper ID：
fa197e9e3a674665add2d243ed570a14 - 一等来源：教研云 JSON
elementData - 源稿 JSON：
/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/task_133f8f8341cc472eba9e83101f534bbb_jiaoyanyun_get_paper_fa197e9e3a674665add2d243ed570a14.json - elementData 抽取：
/root/proofread_pipeline/output/true_question_iteration/352974/lesson3_elementData_full_with_children.md - element 数量：
72 - need_svg：已拉取
need_svg=1 - JSON 文件大小：
2242316 bytes - 图源统计：
<svg607 处，<img65 处，image_urls0 处 - 是否已写回教研云：未写回；本文件为本地完整文字稿。
结构说明
本讲按 统一标准 六段结构重新归一化，不沿用“结构核验通过即完成”的口径：
0. 证据与边界：补齐 Paper ID、JSON、elementData、need_svg、图源统计、写回状态。1. E链真题替换总判断：E1-E8 每位都有检索方向、候选或“无高贴合候选”、采用判断、替换结论。2. 课上稿件：按课前测、Module、E位、Showtime、Extension 展开，并保留教师指导。3. 课后15题：固定 Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3。4. 教师更新说明卡片：写清位置、更新前后、老师动作、互动问题、耗时、跳过风险。5. 本讲结论：明确已完成、不能写回、LOOKUP/PARKED、下一步。
图源、真题与 LOOKUP/PARKED 边界
- 本讲核心是公式来源与数形结合推导；外部真题若只提供计算检测，不能替代“为什么成立”的图形推导。
- 源稿图形可以作为本讲一等源，但正式排版前仍需视觉核图。
- 外部竞赛库中平方差/平方和相关候选较少，且部分题干含
[图]、公式缺失或功能偏离；这类只标LOOKUP/PARKED，不伪造成完整题。 - 源稿残缺题
a7bfc93...、413f8f...、43e022...已明确 PARKED 或替换；不能写回学生版原题。 - Showtime 规则：不纳入 E1-E8；Module 1 / Module 2 各保留 1 题；难度≤对应例题；不进入课后15题。
1. E链真题替换总判断
E1｜等差数列与金字塔数列
- 原题 eleId：
72721ab686284393b71432a65c382582 - 原题题干：在豆子森林中，小精灵用魔法豆子搭三角形高塔。第一层1颗，第二层2颗，依此类推；通过图形理解
1+2+...+n与金字塔/三角形数列。[图] - 原教学功能：复盘等差数列求和，并用图形引入“数形结合”的观察方式。
- 真题检索方向：
等差数列 和、连续自然数 和、奇数 和 平方、金字塔数列。
候选 1｜数据库ID 4863
- que_id：
70edf4cca40247dcbcd7daa8e5d6595e::15::713a98d2c07b474bbd913da1353d51bf - 题干一个等差数列前 [图] 项之和是 [图]，前 [图] 项之和是 [图]，那么公差是多少？首项是多少？
- 答案：
[公式/图]；[公式/图] - 判断：
PARKED - 原因：题干关键数字被清成
[图]，且是代数反推，不适合 E1 首次图形建模。
替换结论：不替换 E1。
原因：E1承担“从等差求和进入图形观察”的开场功能，源稿比外部真题更适合建模。真题候选缺图/缺数，不落稿。
E2｜立方和公式 / 正方形数图形推导
- 原题 eleId：
b939b47c157c48d1800c7c243c51521a - 原题题干：小智和小霞研究正方形数：
4²=1+3+5+7，推广到100²；再通过另一种画线方式得到1+2+...+100+...+2+1；并通过表格推导立方和结构。 - 原教学功能：从奇数和到平方数，再到立方和公式的图形推导。
- 真题检索方向：
立方和、1^3+2^3、三次方 和。
候选检索结果｜无高贴合候选
- 检索方向：
立方和、1^3+2^3、三次方 和。 - 结果：未找到题干完整且能承担“立方和公式图形推导”的真题。
- 判断：不采用外部真题。
- 原因：E2 的核心不是套公式计算，而是从奇数和、平方数、金字塔图形推出立方和公式。
替换结论：不替换 E2。
原因：E2是公式来源题，不是计算熟练题；硬塞真题会把“为什么成立”变成“套公式算”。
E3｜平方差公式图形推导
- 原题 eleId：
21f09dfb999b4e2a9fb355eb4879558c - 原题题干：正方形 ABCD 边长为
a，E/F/G/H 在边上，满足DH=CF=DG=AE=b，移动上方小长方形得到图2，用含a,b的式子表示两图阴影面积。[图] - 原教学功能：用面积割补推导
a²-b²=(a+b)(a-b)。 - 真题检索方向：
平方差、两数平方差、几何证明 平方差。
候选 1｜数据库ID 8090
- que_id：
85a8024fa21c4776ac60ae988cca3748::10::7e9bb9cba2c04b6bbdc571e9586d3270 - 题干设 [图]，[图] 是两个大于 [图] 的质数，无论 [图]，[图] 取什么值，它们的平方差 [图] 一定能被一个自然数 [图] 整除。那么这个 [图] 的取值有几个，最大值是 ____。
- 答案：
[公式/图] - 判断：
PARKED - 原因：虽然命中平方差，但它是数论整除题，不承担图形推导功能；且题干缺失。
替换结论：不替换 E3。
原因：本讲主题是数形结合，E3 必须保留图形推导；外部平方差真题不适合主替换。
E4｜平方差公式应用
- 原题 eleId：
81ff50b4fcdc4453b08b5bf91fd3f8c4 - 原题题干：计算：
- 答案：
10200；3999744 - 原教学功能：从公式推导进入计算应用，尤其把
2016×1984转化为(2000+16)(2000-16)=2000²-16²。
1. 167²-133²
2. 2016×1984
候选检索结果｜无高贴合主链候选
- 检索方向：
平方差、中心数±差、2016×1984、两数平方差。 - 结果：未找到题干完整、难度合适、可替代 E4 双小问的主链真题。
- 判断：不采用外部真题替换 E4；课后保留源稿 Math Kangaroo 平方差真题作检测。
- 原因：E4 需要把
2016×1984显性桥接为(2000+16)(2000-16)，源题教学功能更直接。
替换结论：保留 E4，但必须补桥。
补桥内容：2016×1984 不应直接硬算，应先问学生：这两个数能不能看成同一个中心数 2000 的左右两边？
确定性核验：2016×1984=(2000+16)(2000-16)=2000²-16²=3999744。
E5｜平方和公式图形推导
- 原题 eleId：
755e9d4bfda94fe7834f4d4f94a6a56c - 原题题干：博士让艾迪和薇儿计算三角板上所有数的和：
1×1+2×2+...+100×100，通过旋转三角板推导平方和公式。[图] - 原教学功能：用“踢三角/旋转三份”推导平方和公式。
- 真题检索方向：
平方和公式、1^2+2^2、连续平方。
候选 1｜数据库ID 4115
- que_id：
8caec7a2cab145c092c7a90dcbad4e08::2::327d869cf317464995df4de7c2036967 - 题干根据平方和公式：[图]（[图] 是整数）。计算：[图]。
- 答案：D
- 判断：
PARKED - 原因：题干公式和计算式均缺失，只能证明有平方和真题方向，不能落稿。
替换结论：不替换 E5。
原因：E5是公式来源，源稿图形推导不可替代；外部真题适合在公式学完后检测，不适合推导。
E6｜平方和公式计算
- 原题 eleId：
4321e7d9e1e64cd386b195c894c4129d - 原题题干：计算：
- 答案：
2296；2600；2925 - 原教学功能：平方和公式基础计算、偶数平方和、奇数平方和。
1. 15²+16²+17²+...+21²
2. 2²+4²+6²+...+24²
3. 1²+3²+5²+...+25²
候选检索结果｜无高贴合主链候选
- 检索方向：
平方和公式、连续平方和、偶数平方和、奇数平方和。 - 结果：外部候选多缺公式/图，或偏数论，不适合作 E6 首次公式计算三型训练。
- 判断：不采用外部真题替换 E6。
- 原因：源稿三小问正好覆盖区间平方和、偶数平方和、奇数平方和，教学功能完整。
替换结论：不替换 E6。
原因：这组题覆盖基础、偶数项、奇数项三种必要训练，是公式落地的核心。
E7｜平方和公式乘积应用
- 原题 eleId：
ad5b0030f4ec4e79b4ec67df21261db9 - 原题题干：计算：
1×2+2×3+3×4+...+48×49+49×50 - 答案：
41650 - 原教学功能：把
k(k+1)拆成k²+k，用平方和公式与等差求和组合。 - 真题检索方向：
1×2+2×3、n(n+1)、平方和应用。
候选检索结果｜无高贴合候选
- 检索方向：
1×2+2×3、n(n+1)、平方和应用、乘积求和。 - 结果：未找到题干完整、同型且难度合适的外部真题。
- 判断：不采用外部真题替换 E7。
- 原因：E7 的关键是把
k(k+1)拆成k^2+k，源题短、清晰、可讲。
替换结论：不替换 E7。
原因：E7是平方和公式的自然推广，原题短、无图、可讲清结构。
E8｜平方和公式推广应用
- 原题 eleId：
a7bfc93db4644e578c2b96e50bef2d31 - 原题题干：源稿 JSON 文本层只显示“计算：”，公式主体在 SVG 中，抽取文本残缺。
- 答案：JSON 中仅保留空白/图形化答案碎片，解析也不完整。
- 原教学功能：平方和公式推广应用。
替换结论：E8 源题 PARKED，不能裸进教材。
处理：优先用源稿 Extension bfd1a08fbee84346903e1ecd512ee681 下沉替代 E8：
- 替代题 eleId：
bfd1a08fbee84346903e1ecd512ee681 - 题干
1×3+3×5+5×7+...+99×101 - 答案：
171650 - 解析要点：
(2k-1)(2k+1)=(2k)²-1，转化为偶数平方和再减项数。
新 E8 替换结论：用 bfd1a08... 替换原 E8。
原因：原 E8 文本残缺；替代题完整、无图、结构清晰，能承接 E7 的乘积拆分。
2. 课上稿件
课上 Extension 解读
- 位置：源稿中有“图形公式匹配选讲”和残缺图形题，出现在公式推导与应用之后。
- 功能：它不是新增一条独立主线，而是检查学生能否把等差、平方差、平方和等公式与图形来源对应起来；价值在“公式为什么成立”，不是多做计算。
- 处理：保留图形公式匹配作为选讲；残缺图形题保持 PARKED，不伪造题面。老师可问：“这张图是在证明公式、应用公式，还是只是在装饰公式？”
课前测｜行程应用题热身
课前测1
- eleId：
1e524da0db8f4233ad40b740a9efa571 - 题干小林徒步去时每小时 4.5 千米，2小时到达；原路返回每小时3千米，求往返平均速度。
- 动作：保留/可删减
- 审校意见：与本讲数形结合主线关系弱，只作课前状态检测；课时紧可删。
课前测2
- eleId：
0747426b270b45d887753f8b8d279835 - 题干张叔叔开车/骑车路程时间判断。
- 动作：保留/可删减
- 审校意见：行程题，不进入本讲主线。
课前测3
- eleId：
aa2dc22c79df4cc6a87ac82c63d70174 - 题干乌龟兔子相向而行，速度改变后不变量判断。
- 动作：保留/可删减
- 审校意见：可作为“不变量”提醒，但不占正课。
课前测4
- eleId：
fef4b7c75c6243828b1fd13e5831d9bf - 题干汽车速度变化导致计划时间问题。
- 动作：保留/可删减
- 审校意见：行程比例题，非本讲核心。
Module 1｜基本公式
E1｜等差数列与金字塔数列
- eleId：
72721ab686284393b71432a65c382582 - eleIndex：
5 - 题干豆子三角形高塔，第一层1颗，第二层2颗，依此类推，通过图形理解数列求和。[图]
- 动作：保留
- 标签：
等差数列 / 三角形数 / 图形化求和 - 真题策略：不替换；外部真题不适合首次图形建模。
教师指导：
- 插入位置：Module 1 开头。
- 老师动作：先让学生把“层数”和“总数”对应起来。
- 互动问题：
如果把两个相同的三角形拼起来，会变成什么形状？ - 耗时：4分钟。
- 跳过风险：学生只记等差求和公式，不知道图形来源。
E2｜立方和公式推导
- eleId：
b939b47c157c48d1800c7c243c51521a - eleIndex：
6 - 题干通过正方形数、奇数和、金字塔数列，推导立方和公式。
- 动作：保留
- 标签：
奇数和 / 平方数 / 立方和公式 / 数形结合 - 真题策略：不替换。
教师指导：
- 老师动作：不要直接给公式，先让学生解释
4²=1+3+5+7为什么成立。 - 互动问题：
每多一圈，为什么正好多出下一个奇数？ - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：立方和公式会变成死记。
E3｜平方差公式图形推导
- eleId：
21f09dfb999b4e2a9fb355eb4879558c - eleIndex：
7 - 题干正方形边长为
a，截去/移动宽为b的部分，用面积表示阴影，得到平方差公式。[图] - 动作：保留
- 标签：
平方差公式 / 图形割补 / 面积恒等 - 真题策略：不替换。
教师指导：
- 老师动作：让学生分别用“原图”和“移动后图”表示同一块阴影面积。
- 互动问题：
这两张图阴影面积为什么相等？移动之后长和宽分别是什么？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生只会背
a²-b²，不会看见面积等价。
E4｜平方差公式应用
- eleId：
81ff50b4fcdc4453b08b5bf91fd3f8c4 - eleIndex：
8 - 题干计算
167²-133²；2016×1984。 - 答案：
10200；3999744 - 动作：保留，但补桥
- 标签：
平方差公式 / 中心数±差 / 快速计算 - 真题策略：不替换；后续课后保留 Math Kangaroo 平方差真题。
教师指导：
- 插入位置：第二小问前。
- 老师动作：先问“这两个数能不能改写成同一个中心数左右两边”。
- 互动问题：
2016 和 1984 距离哪个中心数一样远？ - 耗时：4分钟。
- 跳过风险：学生看不出乘法也能用平方差。
Module 1 Showtime｜压缩保留1题
源稿 Showtime 有4题：
15435a47e7984ca39990c57099540cb7：30+35+40+...+2025f2d24f46bee1459bb706a6f6cd7f74f4：1³+2³+...+9³bd2b2580486e495c91935c0229912539：2025×2025-2036×2014c3d7066017d24ee1aeebb42872f0b1d0：40²-38²+...+4²-2²
处理：只保留第3题 bd2b258... 作为 Module 1 Showtime，其余下沉/删除。
理由：Showtime 规则是每个 Module 1 个，难度不高于对应例题。第3题最能检测 E4 的“中心数/平方差”迁移。
教师指导：
- 问学生：
2025² 和 2036×2014 能不能都围绕 2025 或 2025±11 看？ - 耗时：3分钟。
- 跳过风险：Showtime 过长会变成刷题串。
Module 2｜平方和公式
E5｜平方和公式推导
- eleId：
755e9d4bfda94fe7834f4d4f94a6a56c - eleIndex：
16 - 题干计算三角板上所有数的和，即
1×1+2×2+...+100×100，通过旋转三角板推导平方和公式。[图] - 动作：保留
- 标签：
平方和公式 / 踢三角 / 图形推导 - 真题策略：不替换。
教师指导：
- 老师动作：让学生先看三份旋转图拼成的形状，再写公式。
- 互动问题：
为什么旋转三次后，每个位置的和相同？ - 耗时：7分钟。
- 跳过风险：学生直接背平方和公式，无法处理推广题。
E6｜平方和公式计算
- eleId：
4321e7d9e1e64cd386b195c894c4129d - eleIndex：
17 - 题干计算
15²+...+21²；2²+4²+...+24²；1²+3²+...+25²。 - 答案：
2296；2600；2925 - 动作：保留
- 标签：
平方和公式 / 偶数平方和 / 奇数平方和 - 真题策略：不替换。
教师指导：
- 老师动作：三小问分别对应“区间差”“偶数提因子”“总和减偶数/奇数拆分”。
- 互动问题：
第二问能不能先提出 2²？第三问能不能用总平方和减偶数平方和？ - 耗时：6分钟。
- 跳过风险：学生每题都从头套公式，计算负担大。
Module 2 Showtime｜压缩保留1题
源稿 Showtime 有3题：
c127e7c9672a4f1fb329df85b23f50e8：13²+14²+...+20²d4c84ca384da4ffd93767950728c9a68：5²+10²+...+50²dfe0f93fae6544478b56531efc57a002：2²+4²+...+50²
处理：保留第2题 d4c84... 作为 Module 2 Showtime；其余下沉/删除。
理由：第2题检测“倍数平方和”方法，难度与 E6 相当，不超纲。
教师指导：
- 问学生：
这些数都是什么的倍数？平方以后能提出几的平方？ - 耗时：3分钟。
- 跳过风险：Module 2 后半变成重复计算。
Module 3｜平方和公式应用
E7｜乘积拆分为平方和
- eleId：
ad5b0030f4ec4e79b4ec67df21261db9 - eleIndex：
22 - 题干
1×2+2×3+3×4+...+48×49+49×50 - 答案：
41650 - 动作：保留
- 标签：
平方和公式应用 / k(k+1) / 拆项 - 真题策略：不替换；外部检索无高贴合同型完整真题。
教师指导：
- 老师动作：先把
k(k+1)拆成k²+k。 - 互动问题：
这里每一项都比平方多了什么？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生不知道如何从乘积转入平方和。
E8｜替换原残缺题
- 原 eleId：
a7bfc93db4644e578c2b96e50bef2d31 - 原题状态：JSON 文本层残缺，只显示“计算：”，公式主体不可读。
- 原题动作：
PARKED / 不裸进教材
改后 E8：
- 替代 eleId：
bfd1a08fbee84346903e1ecd512ee681 - 原位置：源稿 Extension
- 题干
1×3+3×5+5×7+...+99×101 - 答案：
171650 - 动作：上移替代 E8
- 标签：
平方和公式应用 / (2k-1)(2k+1) / 偶数平方和 - 真题策略：原 E8 源题公式残缺，不能裸进教材；用源稿完整 Extension 题上移替换，不另造外部真题。
教师指导：
- 插入位置：E7 后。
- 老师动作：先让学生观察
(2k-1)(2k+1)。 - 互动问题：
这是不是平方差？中间那个数是谁？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生把 E8 当成硬乘法求和。
Extension｜图形公式匹配选讲
- eleId：
d1dc374a89a148e586cc4cb02c8195f8 - 题干观察图形，匹配勾股定理、完全平方公式、平方差公式、
(a+b)²-(b-a)²=4ab。[图] - 动作：移为选讲/Extension
- 审校意见：它是很好的“数形结合回扣”，但不宜放在主链中间干扰平方和应用线。
Extension｜残缺图形题 PARKED
- eleId：
0ebd4d5f1060408d9df6b41b11a5d99e - 题干图中实线正方形边长分别为____，则看图回答。[图]
- 答案：
104 - 动作：
PARKED - 原因：题干关键边长缺失，不能裸进教材。
3. 课后15题 Practice9 / Challenge3 / Extension3
课后 Extension 训练判断
- 训练判断需要训练，重点是公式来源与图形解释，不是增加计算量。
- 原因课上主链已经讲公式推导，课后 Extension 应检验学生能否把图形结构反向解释为公式，而不是只套等差/平方公式。
- 处理保留与图形公式匹配相关的 Extension；残缺图形题不硬讲，先回源核图。
课后结构：Practice 9 / Challenge 3 / Extension 3。Showtime 不进入课后。
Practice 1
- eleId：
585eb64db88c40bfb32dc342bfc40b35 - 题干11个连续自然数的和是1870，其中最大的自然数是____。
- 答案：
175 - 对应E位：E1
- 动作：保留
Practice 2
- eleId：
d517f64f99e647918d64280e8fe8d722 - 题干计算：
1+2+...+50；1+3+...+99；1+2+...+49+48+...+1；666666×666666÷(1+2+...+6+...+1)。 - 答案：
1275；2500；2401；12345654321 - 对应E位：E1/E2
- 动作：保留但可减负
- 审校意见：四小问偏多，若作业负担大，保留前3问，第4问作为Challenge备用。
Practice 3
- eleId：
f1e45b299e76478db002ebd6c36b7572 - 题干
1+3+5+...+59+60+59+...+5+3+1 - 答案：
1860 - 对应E位：E2
- 动作：保留
Practice 4｜替换残缺题
- 原 eleId：
413f8f07bf054996b413c4130166add6 - 原状态：JSON 文本层只显示“计算”，子题公式不可读，答案为
6384、2491。 - 原动作：删除/PARKED
新 Practice 4：
- 新ID：
NEW_INTERNAL_L3_PRACTICE_004 - 题干
2008×1992 - 答案：
3999936 - 对应E位：E4
- 标签：
中心数±差 / 平方差公式 - 解析
2008×1992=(2000+8)(2000-8)=2000²-8²=3999936。 - 教师指导：问学生“这两个数围绕哪个中心数对称？”
Practice 5
- eleId：
06d11cef513049a48c81df7308515797 - 题干
60²-59²+58²-57²+...+2²-1² - 答案：
1830 - 对应E位：E4
- 动作：保留
Practice 6
- eleId：
739ac2a8e5fc4c64ace4e28ac64bb457 - 题干
100²-98²+96²-94²+...+4²-2² - 答案：
5100 - 对应E位：E4
- 动作：保留
Practice 7｜真题保留
- eleId：
d7a22896ff4f449aa8273c199f28d28c - 来源：US 2003 Math Kangaroo Problems, Level 11-12, Question #19
- 题干
100²-99²+98²-97²+...+2²-1² - 答案：D，
5050 - 对应E位：E4
- 动作：保留为课后真题检测
- 审校意见：这是本讲最适合直接保留的真题，不前置进主链。
Practice 8
- eleId：
36fe2ca6993348d49df88549a49797f5 - 题干
256³-255×256×257 - 答案：
256 - 对应E位：E4/E8
- 动作：保留
- 审校意见：结构漂亮，但跨度较大；可作为较强题。
Practice 9
- eleId：
4f363d970a3740f5b25555048475e31d - 题干
1²+2²+3²+...+27² - 答案：
6930 - 对应E位：E5/E6
- 动作：保留
Challenge 1
- eleId：
b6fe28b8919c4fd1ab56eb5951c7d697 - 题干
11²+12²+...+100² - 答案：
337965 - 对应E位：E6
- 动作：保留
Challenge 2
- eleId：
7025b1c5ce5244d7a241ce7c6f9e5b0b - 题干
2²+4²+6²+...+100² - 答案：
171700 - 对应E位：E6
- 动作：保留
Challenge 3
- eleId：
051a529b1b644b42b23550033ac3f309 - 题干
1²+2²+4²+5²+7²+8²+10²+11²+13²+14²+16² - 答案：
1001 - 对应E位：E6
- 动作：保留
Extension 1
- eleId：
157d705af31e43bd8fa0ca319906ffc4 - 题干
1×49+2×47+3×45+...+25×1 - 答案：
5525 - 对应E位：E8
- 动作：保留
Extension 2
- eleId：
462d5e83f6664cb3abc448de249eb146 - 题干
2+6+12+...+9702 - 答案：
323400 - 对应E位：E7/E8
- 动作：保留
Extension 3｜替换残缺题
- 原 eleId：
43e022d467124f5aa6b848a2cc94475c - 原状态：题干公式残缺，仅可见答案
171647，不可裸进教材。 - 原动作：删除/PARKED
新 Extension 3：
- 新ID：
NEW_INTERNAL_L3_EXTENSION_003 - 题干
3×5+5×7+7×9+...+101×103 - 答案：
182050 - 对应E位：E8
- 动作：新增内部变式，替换原残缺 Extension 3
- 解析把每项看成
(2k-1)(2k+1)=(2k)^2-1，其中k=2,3,...,51，所以原式=4(2²+3²+...+51²)-50=182050。 - 确定性核验：Python 复算
sum((2*k-1)*(2*k+1) for k in range(2,52))=182050。 - 审校意见：与 E8 同型但不重复，适合放在 Extension 作为迁移题。
4. 教师更新说明卡片
卡片1｜E4 第二问补桥
- 位置：E4
2016×1984 - 更新前：直接作为计算题出现。
- 更新后：补“中心数±差”桥。
- 原因：否则学生看不到乘法与平方差的关系。
- 老师动作：先问中心数，再写
(2000+16)(2000-16)。 - 互动问题：
2016 和 1984 距离哪个数一样远？ - 耗时：2分钟。
- 跳过风险：学生硬乘，平方差公式无法迁移。
- 优先级：P0
卡片2｜Showtime 压缩
- 位置：Module 1 / Module 2 Showtime
- 更新前：Module 1 有4题，Module 2 有3题。
- 更新后：每个 Module 只保留1题。
- 原因：Showtime 只做随堂检测，不承担刷题。
- 老师动作：只挑最能检测刚学方法的一题。
- 互动问题：
这题是在检测哪个方法？ - 耗时：每处3分钟。
- 跳过风险：课堂后半段变题海。
- 优先级：P0
卡片3｜E8 残缺题替换
- 位置：Module 3 原 E8
- 更新前：原题
a7bfc...文本层残缺。 - 更新后：用
bfd1a08...上移替代。 - 原因：残缺题不能裸进教材。
- 老师动作：讲
(2k-1)(2k+1)=(2k)²-1。 - 互动问题：
这个乘积中间那个平方是谁？ - 耗时：5分钟。
- 跳过风险：学生看不到乘积拆平方。
- 优先级：P0
卡片4｜课后残缺题替换
- 位置：Practice 4、Extension 3
- 更新前：源稿题干公式残缺。
- 更新后：Practice 4 用新增平方差题；Extension 3 用新增内部变式
3×5+5×7+...+101×103。 - 原因：不能把空公式题布置给学生。
- 老师动作：布置前核对题面是否完整。
- 互动问题：无。
- 耗时：0分钟。
- 跳过风险：学生拿到残缺题无法作答。
- 优先级：P0
5. 本讲结论
- 第3讲主线应保留：等差/立方和/平方差/平方和公式推导 → 公式应用。
- 真题不宜大量替换主链；本讲重点是公式来源，真题更适合做课后检测。
- 源稿 Math Kangaroo 真题
d7a22896ff4f449aa8273c199f28d28c保留在 Practice 7。 - E4 第二问必须补“中心数±差”桥。
- 原 E8
a7bfc...文本残缺，建议用bfd1a08...替换。 - Practice 残缺题
413f8f...删除，用NEW_INTERNAL_L3_PRACTICE_004替换。 - Extension 残缺题
43e022...不能裸进教材；已用NEW_INTERNAL_L3_EXTENSION_003替换，答案182050已复算。 - 本讲未写回教研云；E8 与 Extension 3 已去重：E8 使用源稿
bfd1a08...，Extension 3 使用新增内部变式NEW_INTERNAL_L3_EXTENSION_003。